Kombinační logické funkce a Booleova algebra, pravdivostní tabulky, Karnaughovy mapy, minimalizace, realizace pevnou logikou a programem
Booleova algebra

Technickými prvky používanými při řízení a ovládání strojů jsou tlačítka nebo vypínače. Jedná se o dvouhodnotové prvky. Pro matematický popis těchto součástek byla vytvořena dvouhodnotová algebra, která se po svém tvůrci, britském matematikovi Booleovi, nazývá Booleova algebra. Jedná se o výpočty s dvouhodnotovými proměnnými. Pro výpočty v Booleovské algebře jsou definovány zákony a pravidla tak, jako v jiných algebrách. Jedná se o zákony a pravidla:

Zákony

Základní zákony komutativní, asociativní a distributivní, které jsou definovány pro jakoukoliv algebru, tedy i Boolevskou (tabulka č. 2), jsou vyjádřeny ve dvou formách, disjunktní a konjunktní. V klasické algebře se jedná o sčítání a odčítání. V Booleovské algebře se jedná o logický součet a logický součin.

Tabulka 2: Základní zákony

Zákon

disjunkce

konjunkce

Komutativní zákon

A ˅ B = B ˅ A

A ˄ B = B ˄ A

Asociativní zákon

(A ˅ B) ˅ C = A ˅ (B ˅ C)

(A ˄ B) C = A ˄ (B ˄ C)

Distributivní zákon

(A ˅ B) ˄ C = A ˄ C ˅ B ˄ C

(A ˄ B) ˅ C = (A ˅ C) (B ˄ C)

V praxi se pro logické funktory disjunkce, konjunkce a negace se mohou používat i jiné způsoby označení. Ukázka různé způsoby značení je v tabulce č. 3.

Tabulka 3: Jiný typ označení logických operací

A ˅ B

A + B

(007)

A or B

A ˄ B

(008)

(009)

(010)

(011)

¬ A

not A

Pravidla

Booleovská algebra je doplněna ještě řadou pravidel, která jsou používána při zjednodušování logických funkcí. Přehled všech pravidel je v tabulce č. 4.

Tabulka 4: Pravidla Booleovské algebry

Pravidlo

Sčítání

Násobení

Pravidlo o neutrálnosti 0 a 1

A + 0 = A

(012)

Pravidlo o agresivnosti 0 a 1

A + 1 = 1

(013)

Pravidlo o independenci prvků

A + A = A

(014)

Pravidlo o vyloučeného třetího

(015)

(016)

De Morganova pravidla

(017)

(018)

Pravidlo o absorbci

(019)

(020)

Pravidlo o absorbci negace

(021)

Pravidlo o dvojí negaci

(022)

Příklad 4.2

Zjednodušte funkci tří proměnných:

(023)

Nejprve je provedeno vytknutí před závorky a u třetí závorky je provedena aplikace pravidla o absorbci negace.

(024)

Dále je aplikováno pravidlo o independenci prvků, je provedeno roznásobení závorky a aplikace pravidla vyloučení třetího. Výsledkem je 0.

(025)

To znamená, že funkční hodnota je vždy nulová, nezávisle na kombinaci hodnot vstupních proměnných, takovou funkci nazýváme falsum.