Technickými prvky používanými při řízení a ovládání strojů jsou tlačítka nebo vypínače. Jedná se o dvouhodnotové prvky. Pro matematický popis těchto součástek byla vytvořena dvouhodnotová algebra, která se po svém tvůrci, britském matematikovi Booleovi, nazývá Booleova algebra. Jedná se o výpočty s dvouhodnotovými proměnnými. Pro výpočty v Booleovské algebře jsou definovány zákony a pravidla tak, jako v jiných algebrách. Jedná se o zákony a pravidla:
Základní zákony komutativní, asociativní a distributivní, které jsou definovány pro jakoukoliv algebru, tedy i Boolevskou (tabulka č. 2), jsou vyjádřeny ve dvou formách, disjunktní a konjunktní. V klasické algebře se jedná o sčítání a odčítání. V Booleovské algebře se jedná o logický součet a logický součin.
Zákon |
disjunkce |
konjunkce |
Komutativní zákon |
A ˅ B = B ˅ A |
A ˄ B = B ˄ A |
Asociativní zákon |
(A ˅ B) ˅ C = A ˅ (B ˅ C) |
(A ˄ B) C = A ˄ (B ˄ C) |
Distributivní zákon |
(A ˅ B) ˄ C = A ˄ C ˅ B ˄ C |
(A ˄ B) ˅ C = (A ˅ C) (B ˄ C) |
V praxi se pro logické funktory disjunkce, konjunkce a negace se mohou používat i jiné způsoby označení. Ukázka různé způsoby značení je v tabulce č. 3.
A ˅ B |
A + B |
|
A or B |
A ˄ B |
|
|
|
|
¬ A |
not A |
Booleovská algebra je doplněna ještě řadou pravidel, která jsou používána při zjednodušování logických funkcí. Přehled všech pravidel je v tabulce č. 4.
Pravidlo |
Sčítání |
Násobení |
Pravidlo o neutrálnosti 0 a 1 |
A + 0 = A |
|
Pravidlo o agresivnosti 0 a 1 |
A + 1 = 1 |
|
Pravidlo o independenci prvků |
A + A = A |
|
Pravidlo o vyloučeného třetího |
|
|
De Morganova pravidla |
|
|
Pravidlo o absorbci |
|
|
Pravidlo o absorbci negace |
|
|
Pravidlo o dvojí negaci |
|
Zjednodušte funkci tří proměnných:
Nejprve je provedeno vytknutí před závorky a u třetí závorky je provedena aplikace pravidla o absorbci negace.
Dále je aplikováno pravidlo o independenci prvků, je provedeno roznásobení závorky a aplikace pravidla vyloučení třetího. Výsledkem je 0.
To znamená, že funkční hodnota je vždy nulová, nezávisle na kombinaci hodnot vstupních proměnných, takovou funkci nazýváme falsum.