Minimum o fuzzy logice a neuronových sítí
Fuzzy zobecnění AND a OR

Jako zobecnění logického součinu AND a součtu OR se nejčastěji používají operace minima a maxima (Zadehovy či Gödelovy operace)

ANDm(a, b) = min(a, b)

ORm(a, b) = max(a, b),

ANDa(a, b) = ab

ORa(a, b) = a + bab

ANDb(a, b) = max (0, a + b – 1) ... omezení výrazu a + b – 1 zdola na nule

ORb(a, b) = min(a + b, 1) ... omezení výrazu a + b shora na jedničce

Průběh funkce zobecněných operátorů pro dvě proměnné se obvykle zobrazuje jako prostorový graf. Lze jej chápat jako zobecněné a v prostoru zobrazené pravdivostní mapy (K-mapy) – rohům půdorysného čtverce odpovídají hodnoty přiřazené tradičními booleovskými operátory krajním (booleovským) hodnotám operandů 0 a 1.

Obr.6.7: Grafy pravdivosti dvou operátorů
Obr.6.8: Ukázka odlišnosti funkce minimalizovaného výrazu b(a) a neupraveného výrazu ab
Obr.6.9: Ukázka odlišnosti funkce minimalizovaného výrazu a OR

Příklad 6.1

Uveďme ilustrativní příklad s pravdivostmi operandů a = 0,3 a b = 0,8. Pro operace maxima a minima platí:

a ANDm b = 0,3 (menší z obou), a ORm b = 0,8 (větší z obou)

pro pravděpodobnostní operace:

a ANDa b = 0,3 * 0,8 = 0,24  a ORa b = 0,3 + 0,8 – 0,24 = 0,86

a pro Lukasewiczovy operace:

a ANDb b = max(0; 0,3 + 0,8 – 1) = větší z (0 a 0,1) = 0,1

a ORb b = min(0,3 + 0,8; 1) = menší z (1,1 a 1) = 1

Je vidět, že pro výsledky zobecněných logických operátorů platí nerovnosti (nejenom pro uvedené příklady, ale obecně):

ANDb < ANDa < ANDm

ORm < ORa < ORb