Kombinační logické funkce a Booleova algebra, pravdivostní tabulky, Karnaughovy mapy, minimalizace, realizace pevnou logikou a programem
Výroková algebra

Výrok

Pod pojmem výrok je možno si představit prohlášení různých lidí, dále různé pranostiky, definice, prohlášení apod. V matematické logice je tento pojem omezen definicí: „Výrok je každé tvrzení, kterému lze jednoznačně přiřadit pravdivostní hodnotu v každém čase.“ Tím je specifikováno, co je od výroku očekáváno. Výrokem může být i tvrzení, o jehož pravdivosti bude možno rozhodnout až v budoucnosti.

Výrok může nabývat dvou hodnot: pravda, nepravda. Pro označení pravdivých výroků je možné použít symboly: ano; true; 1; +; high; H. Pro nepravdivé výroky je používáno označení: ne; false; 0; -; low; L.

Pro lepší pochopení je uvedeno několik příkladů:

Výrokový počet

Výrokovým počtem rozumíme tu část matematické logiky, která vyšetřuje vztahy mezi výroky, jen se zřetelem k jejich pravdivosti a nepravdivosti. Výrokový počet se nezabývá vnitřní strukturou atomárních výroků a zákonitostí, podle nichž se tvoří.

Znaky nebo slovní vyjádření, pomocí nichž se tvoří nové výroky, se nazývají <výrokotvorné> funktory [logické spojky]. Atomárním výrokem výrokového počtu je nazýván výrok bez funktorů.

Nejdůležitějšími funktory jsou:

Funktor negace – znakem je pruh nad výrokem Ā a slovní spojení je: „ne; not; není pravda, že…“.

Kombinací atomárních výroků jsou vytvářeny výrokové operace od nejjednodušších po složité. Jejich význam je v tom, že je možno je jednoduše technicky interpretovat.

Logická funkce

V klasické algebře je známa definice funkce: funkce je zobrazení, kdy jedné nebo více nezávisle proměnným odpovídá jedna nebo více závisle proměnných. Tak je i v matematické logice definován pojem logická funkce. Logická funkce je relace mezi závisle a nezávisle logickými proměnnými. Logické proměnné jsou dvouhodnotové veličiny, které nabývají hodnot 0 nebo 1.

Funkce logických proměnných může být funkcí jedné i více proměnných.

y = f (x1; x2; x3; ...; xn)

Každou logickou funkci je možno vyjádřit třemi způsoby s rovnocenným výsledkem:

Logické funkce je možné řešit pravdivostní tabulkou. Jedná se o tabulkové vyjádření všech kombinací nezávisle proměnných, které mohou nastat. Počet všech možností, které mohou nastat, se vypočítá podle vzorce:

k = 2n,

kde k je počet všech možností a n je počet proměnných.

Způsob řešení je objasněn na následujícím příkladu.

Příklad 4.1

Pomocí pravdivostní tabulky zjistěte hodnoty logické funkce Y, která je funkcí tří logických proměnných a je vyjádřena vzorcem:

(006)

Podle vzorce je vypočteno 8 možností pro nezávisle proměnné.

A

B

C

Not A

Not B

A+not B

B+C

C+not A

Y

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

První tři sloupce jsou pro nezávisle proměnné (atomární výroky), které se doporučuje vyplnit postupně od posledního sloupce (v tomto případě C) střídáním hodnot 0 a 1. Další sloupec (v tomto případě B) střídá hodnoty 0 a 1 na dvojnásobném počtu řádků než poslední sloupec (v tomto případě C). Poslední sloupec (v tomto případě A) potom střídá hodnoty 0 a 1 na dvojnásobném počtu řádků, než-li sloupec předchozí (v tomto případě B). Tímto způsobem je možné postupovat i v případě více proměnných. Další sloupce jsou postupným řešením logické funkce. Poslední sloupec je výsledek logické funkce. Pro hledanou kombinaci nezávisle proměnných je možné na příslušném řádku nalézt výslednou hodnotu logické funkce.