Funciones lógicas combinacionales y algebra de Boole, mapas de Karnaugh, minimización, ejecución lógica y funciones lógicas combinacionales
Mapa de Karnaugh

En la sección anterior se resolvieron las expresiones matemáticas de funciones lógicas. De hecho, puede haber, y muy a menudo es necesario hacer frente a casos en que es necesario encontrar una expresión matemática de los resultados de las funciones lógicas. Para ello se usan los llamados mapas de expresión gráfica. Uno de los más conocidos y más utilizados es el mapa de Karnaugh. Es una forma diferente de expresar la tabla lógica o de la verdad, que se utiliza para simplificar las expresiones lógicas. Para una mejor ilustración del problema vemos el siguiente ejemplo. La tabla lógica es una expresión lógica de los resultados para todas las combinaciones de variables independientes posibles.

Un ejemplo de tabla lógica para tres variables independientes se muestra en 4,1. En las tres primeras columnas se expresan los valores de las variables independientes. La última columna (a la derecha) muestra los valores de la variable dependiente.

En los mapas de Karnaugh la columna resultante se muestra como una matriz rectangular. En cada lado del rectángulo se expresan en valores de las variables independientes. No importa en qué lado se asigna cada variable. Los valores de las variables independientes, es conveniente que llenarlos de modo que los valores de la columna adyacente cambien sólo en un bit. De este modo se puede ver cómo cambian en las celdas que forman la matriz los valores de la variable dependiente. Las celdas de esta matriz se llenan con los valores de las variables dependientes basados en combinaciones de variables independientes. Para una mejor comprensión se da el siguiente ejemplo práctico con explicaciones.

Ejemplo 4.3

Este ejemplo muestra un sistema de alarma contra incendios. En la zona hay tres sensores de fuego independientes. Cuando al menos dos sensores registran el fuego, es necesario declarar una alarma de incendio. Expresado matemáticamente: Para la función lógica de tres variables Y, el valor de la función Y toma valor verdadero cuando al menos dos variables de entrada son verdaderos.

Resolución del Problema

En primer lugar se muestra la forma de realización de la tabla lógica del problema. Esta es una función de tres variables independientes “Y = f(X1, X2, X3).” El número de todas las combinaciones de variables independientes se calcula según la fórmula Nº 3.1. A es igual a ocho. Esto significa que la tabla lógica tendrá encabezados de 8 líneas. De conformidad con el procedimiento mencionado en el ejemplo Nº 4.1 se realiza el llenado de los valores de las variables independientes. La columna para la variable “Y” dependiente se completa en base a la formulación del problema. Es muy importante prestar atención a la expresión, ya sea “por lo menos dos” (el ejemplo) o “sólo dos”. En ambos casos el resultado es una solución diferente. La tabla lógica para el ejemplo es la siguiente:

X1

X2

X3

Y

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

Los valores de campo para la variable dependiente “Y” pueden adoptar diversas formas, como “2 x 4” o “4 x 2”. Para matrices con ocho células hay más opciones. En este caso, la forma del mapa de Karnaugh elegido ha sido “2 x 4”. La parte horizontal del campo fue asignada a las variables independientes “X1” (encabezados de fila superior) y “X2” (cabeceras de fila inferior). El lado vertical del campo se asigna a la variable independiente que queda “X3”. La asignación de las variables independientes a cada parte sólo depende de los gustos del usuario y no afectan el resultado de la solución. En el siguiente paso del proceso se rellenan con los valores de las variables independientes de manera que, cuando se mueve a una columna / fila adyacente se cambia un bit (código Gray) el resultado se muestra en la tabla siguiente.

Las celdas se han llenado con valores de la variable dependiente para reflejar las combinaciones de valores de las variables independientes:

La solución lleva a cabo el siguiente procedimiento. El mapa combinará campos que contienen el valor 1 en bloques (objetos) de acuerdo con las siguientes reglas:

La expresión lógica de un bloque se denomina término y se compone de variables de entrada conjuntivas que no alteren su valor de entrada. La función lógica mínima es creada por estos términos disjuntos. La expresión de la función lógica matemática resultante es:

(026)

El mapa de Karnaugh también puede resolver la cobertura de los campos con ceros. La función lógica resultante es la negación de la disyunción de los términos. El ejemplo anterior sería el siguiente:

(027)

La forma de solución del mapa depende de los campos minoritarios, de ceros o unos.