Conocimientos básicos de fuzzy logic (lógica difusa)
Generalización fuzzy de AND y OR

Como generalización de producto lógico AND y suma lógica OR, las más utilizadas son las operaciones de mínimo y máximo (operaciones de Gödel o de Zadeh).

ANDm(a, b) = min(a, b)

ORm(a, b) = max(a, b),

Operaciones de probabilidad (operaciones de Goguen algebraicas)

ANDa(a, b) = ab

ORa(a, b) = a + bab

Y operaciones de Łukasiewicz (operaciones de Giles, diferencias finitas y suma – Fig. 8.4)

ANDb(a, b) = max(0, a + b – 1) ... la expresión a + b – 1 limitada por abajo por 0

ORb(a, b) = min(a + b, 1) ... la expresión a + b con límite superior 1.

El comportamiento de funciones de operadores generalizados para dos variables generalmente se visualiza como un diagrama en tres dimensiones. Se pueden entender como mapas lógicos generalizados (K-maps) mostrados en el espacio, donde las esquinas del cuadro base representan los valores asignados a los límites (Booleanos) de los operandos 0 y 1 por los operandos lógicos tradicionales.

Fig. 6.7: Gráficos lógicos de dos operandos
Fig. 6.8: Demostración de las diferencias entre funciones minimizadas
Fig. 6.9: Demostración de las diferencias entre términos minimizados para la función a Pic.6_9.jpg

Ejemplo 6.1

Demos un ejemplo ilustrativo con los valores lógicos de los operandos a = 0.3 y b = 0.8. Se cumple para las operaciones de máximo y mínimo:

a ANDm b = 0.3 (el menor de los dos), a ORm b = 0.8 (el mayor de los dos)

para operaciones de probabilidad:

a ANDa b = 0.3 * 0.8 = 0.24    a ORa b = 0.3 + 0.8 – 0.24 = 0,86

y para operaciones de Łukasiewicz:

a ANDb b = max (0, 0.3 + 0.8 – 1) = el mayor de (0 y 0.1) = 0.1

a ORb b = min (0.3 + 0.8, 1) = el menor de (1.1 and 1) = 1

Se puede observar que las siguientes desigualdades son válidas para los resultados de los operadores lógicos generalizados (no sólo para los ejemplos mencionados anteriormente, en general):

ANDb < ANDa < ANDm

ORm < ORa < ORb