Logični in digitalni sistemi

Jaroslav Šípal

Avtor

Jaroslav Šípal

Naslov

Logični in digitalni sistemi

Prevedel

Žarko Čučej, Dušan Gleich

Izdan

České vysoké učení technické v Praze

Preveden

Fakulta elektrotechnická

Kontakt

Technická 2, Praha 6, Czech Republic

Recenzent

Marko Malajner, Maruša Bence

1. izdaja

ISBN 978-80-01-05317-1

Innovative Methodology for Promising VET Areas (IMProVET)
http://improvet.cvut.cz

Izvedba tega projekta je financirana s strani Evropske komisije.
Vsebina publikacije (komunikacije) je izključno odgovornost avtorja in v nobenem primeru ne predstavlja stališč Evropske komisije.

PRIPOMBA

Avtomatsko vodenje naprav lahko delovanje naprav, lahko razdelimo na tri zelo splošne skupine: vodenje, regulacija in napredne metode vodenja. Modul opisuje vodenje procesov, obdelavo signalov, filtriranje signalov, mehko logiko in nevronske mreže. V vsakem poglavju so dodani primeri in vprašanja.

CILJI

V tem modulu se dijaki spoznajo z osnovnimi pojmi obdelave signalov, digitalnega in zveznega vodenja in umetne intelligence s pomočjo mehke logike in nevronskih mrež. Modul vsebuje osnovne informacije o digitalnih sitih in algoritmih vodenja, kot je PID regulator.

LITERATURA

[1]  BARTSCH Hans Matematické vzorce Mladá fronta Praha 2000; ISBN 80-204-0607-7

[2]  Getting Started with MATLAB® 8; The MathWorks Inc. 2012

[3]  HÄBERLE H. a kol. - Průmyslová elektronika a informační technologie; Europa Sobotáles Praha 2003; ISBN 80-86706-04-4

[4]  REKTORYS Karel a kol. Přehled užité matematiky I+II vyd. Prometheus Praha: 2000; ISBN 80-7196-179-5

[5]  SCHMID D. a kol. - Řízení a regulace pro strojírenství a mechatroniku; Europa Sobotáles Praha 2005; ISBN 80-86706-10-9

RAZLAGA

DEFINICIJA

ZANIMIVO

ZAPISEK

PRIMER

POVZETEK

PREDNOSTI

SLABOSTI

Vsebina

1 Predstavitev in motivacija

1.1 Krmiljenje

1.2 Avtomatsko vodenje

1.3 Napredne regulacije

1.4 Vprašanja za ponavljanje

2 Terminologija

2.1 Sistem

2.2 Kontinuiteta in diskontinuiteta fizikalnih veličin

2.3 Signali

2.4 Uporabljeni termini

2.5 Vprašanja za utrjevanje

3 Digitalna logika in digitalni sistemi

3.1 Implementacija osnovnih logičnih funkcij

3.2 Simboli za logična vezja

3.3 Poenostavljanje izrazov

3.4 Programiranje matematičnih funkcij

3.5 MATLAB

3.6 Vprašanja za utrjevanje

4 Preklopne funkcije, Boolova algebra, logične tabele, Karnaugov diagram, minimizacija, izvedbene logične funkcije

4.1 Logične funkcije

4.2 Propozicijska algebra

4.3 Boolova algebra

4.4 Karnaughjevi diagrami

4.5 Implementacija logičnih funkcij

4.6 Vprašanja

4.7 Praktični primeri

4.8 Porazdeljeni sistemi

4.9 Vprašanja

4.10 Preklopne logične funkcije

4.11 Uporaba preklopnih logičnih vezij

4.12 Multiplekserji in demultiplekserji

4.13 Pretvornik kod

4.14 Vezja za varnost

5 Sekvenčne logične funkcije, narava obnašanja sekvence, sekvenčni in trenutni logični elementi, sinhrono in asinhrono izvajanje

5.1 Sekvenčne logične funkcije, sekvenčna logična vezja

5.2 Binarni pomnilnik

5.3 Sinhrono in asinhrono izvajanje

5.4 Vprašanja

6 Nekaj o mehki logiki

6.1 Uvod

6.2 Viri mehke logike

6.3 Mehka logika kot generalizacija binarne logike

6.4 Pragovna in večinska funkcija binarne logike

6.5 Logični izrazi

6.6 Povezava z AND in OR

6.7 Uporaba v varnostni tehniki

6.8 Razlogi za mehko generalizacijo

6.9 Postopek mehke generalizacije

6.10 Generalizacija logičnih izrazov

6.11 Mehka generalizacija AND, OR, NOT

6.12 Mehka generalizacija negacije - mehki NO

6.13 Mehka generalizacija AND in OR

6.14 Zadostnost minimuma in maksimuma

6.15 Mehki diagnostični sistem – primer

6.16 Določitev vhodnih izrazov – mehčanje

6.17 Inferenca – sklepanje

6.18 Vrednotenje rezultata v obliki ene vrednosti – ostrenje

6.19 Ostrenje

6.20 Izhodni izrazi

6.21 Proces ostrenja brez implikacije

6.22 OR vmesni podatki - združena območja

6.23 Metoda centroida – CoG

6.24 Metoda bisekcije – CoA

6.25 Metoda maksimuma - LM, RM

6.26 Metoda centroida enojčkov – CoGS

6.27 Analogija s povprečno uteženostjo

6.28 Mehki sistem Mamdan

6.29 Nastavljanje (uglaševanje) mehkega sistema - tuning

6.30 Opis sistema

6.31 Enotna postavitev vseh izrazov

6.32 Zgoščeni vhodni pogoji

6.33 Razredčeni vhodni pogoji

6.34 Zgoščeni izhodni pogoji

6.35 Razredčeni izhodni pogoji

6.36 Povzetek poglavja

7 Nevronske mreže

7.1 Uvod

7.2 Principi

7.3 Umetne nevronske mreže

7.4 Perceptron

7.5 Algoritem širjenja nazaj

7.6 Hopfieldova mreža

7.7 ART mreža

7.8 Aplikacije nevronskih mrež

7.9 Vprašanja za ponavljanje

8 Digitalni sistemi

8.1 Uvod

8.2 Digitalni filtri

8.3 FIR

8.4 IIR

8.5 Področja uporabe

8.6 Numerično vodenje

8.7 Motnje in učinkovitost vodenja

8.8 Analiza stabilnost in prehodni pojav sistema

8.9 Statični sistemi

8.10 Opis sistema

8.11 Karakteristika sistema

8.12 Modifikacija sistema

8.13 Električni sistemi

8.14 Termični in mehanski sistemi

8.15 Polnjenje kondenzatorja

8.16 Capacitor discharging

8.17 Povezava termičnih in električnih sistemov

8.18 Povezava med termičnim, hidravličnim in električnim sistemom

8.19 Energijski izvori (napetostni in tokovni) za različne fizikalne procese

8.20 Oscilirajoči sistemi

8.21 Nelinearnost

8.22 Identifikacija sistemov

8.23 Regulacije

8.24 Povratna zanka

9 PID regulator

9.1 Implementacija

9.2 Različice PID

9.3 Hitrostni ali inkrementalni algoritem PID r

9.4 Povezava z FIR sistemom

9.5 PI, PII različice

9.6 P različica

9.7 PI različica

9.8 Implementacija digitalnih regulatorjev

1 Predstavitev in motivacija

V modernem življenju smo obdani s stroji in napravami, ki delujejo avtomatsko ali pa jih vodimo. Teorijo vodenja sistemov lahko razdelimo na tri glavna področja

- Vodenje odprtozančnih sistemov,

- Vodenje zaprtozančnih sistemov,

- Napredno vodenje.

1.1 Krmiljenje

Krmiljenje je najbolj enostavna oblika vodenja sistema. To pomeni, da napravo lahko vklopimo, izklopimo ali izvajamo sekvenčne operacije. Diagram krmiljenja je predstavljen na sliki 1.1

Fig. 1.1: Osnovna shema krmiljenja

PRIMER

Krmiljenje sistema predstavlja najbolj osnovno vodenje. Tukaj si lahko pomagamo s primerom krožne žage, ki jo vklopimo s stikalom. Stikalo da napajanje motorju, motor oz. žaga pa se vrti z obrati, ki jih nastavimo na potenciometru. Sistem vodenja skrbi, da se žaga vrti s pomočjo motorja in nazadnje s stikalom. Stikalo prekine napajanje in s tem ustavi motor.

Krmiljenje lahko razdelimo glede na tip vodenja :

- lokalno

- daljinsko

- avtomatsko

- programsko

Lokalno krmiljenje je uporabljeno v enostavnih napravah in strojih, srečamo ga v energetskih napravah in v hišni avtomatizaciji.

Daljinsko vodenje je značilno za proizvodne procese, kjer nadzorujemo več naprav iz centraliziranega ali nadzornega sistema. Tukaj gre po navadi za zajemanje podatkov in nadzorovanje naprav za vklop in izklop. Primer lahko damo vodno črpalko, ki potiska vodo v rezervoar. Rezervoar se polni tako dolgo, dokler senzor nivoja ne zazna določenega nivoja. Nad tem nivojem se črpalka ugasne. Torej senzor nivoja nadzoruje vklop in izklop črpalke.

Programsko vodenje je implementirano za množico naprav, ki so povezane med seboj v celoto. Takšno vodenje se lahko uporabi na napravi za velike moči, kjer je potrebno zagotoviti hlajenje in mazanje med delovanjem naprave. Primer je vklop motorja, kjer se mora najprej vzpostaviti določen tlak olja v aktuatorju, vklopiti hlajenje in mazanje, šele nato lahko motor prične delovati. Primer podobnega zagona lahko najdemo pri pralnem stroj, kot je tudi pokazana na sliki 1.2. Voden sistem s primerom črpalke, ki vodi električni motor (aktuator) Povezavo z napetostjo zagotavlja stikalo, ki je lahko krmiljeno lokalno ali daljinsko.

Fig. 1.2: Podrobna shema vodenja

1.2 Avtomatsko vodenje

Višji novo krmiljenja je regulacija ali avtomatsko vodenje. To pomeni, da se eden ali več fizičnih parametrov drži na želeni vrednosti. Primer takšnega vodenja je lahko segrevanje elementa v pečici na vnaprej predpisani temperature, temperature sme odstopati le za deset stotink od želene vrednosti. To pomeni, da moramo temperature meriti in jo tipati sekvenčno na nekaj minut, jo peljati na regulator, ki poveča ali zmanjša moč grelca v našem primeru aktuatorja. Grafični prikaz takšnega vodenja je prikazan na sliki 1.3.

Določen sistem je lahko avtomatsko nadzoruje določen fizikalni parameter, ki ga moramo meriti. V tem primeru je merjena veličina fizikalni parameter, kot so npr. Temperature, pritisk, hitrost, moč, napetost, itd. Merjeno mesto daje fizikalni parameter, ki ga moramo spremeniti v določen signal, ki ga posredujemo regulatorju. Ker peljemo merjeno informacijo nazaj na vhod imenujemo to zanko povratna zanka. Merjena veličina se primerja z želeno veličino in ti dve veličini med seboj odštejemo. Če je merjena veličina enaka želeni veličini potem je naš sistem dosegel želeno vrednost in je napaka med obema vrednostnima enaka nič. V splošnem se razlika med merjeno in želeno vrednostjo posreduje regulatorju, ki spremeni to vrednost v primerno obliko, da jo lahko izvrši aktuator.

Fig. 1.3: Shema avtomatskega vodenja

Shemo lahko prikažemo s primerom, kjer želimo nadzorovati temperaturo. Regulator, glede na velikost razlike med želeno in izmerjeno veličino deluje na aktuator. Če je razlika negativna, to pomeni, da je merjena veličina večja od želene, mora aktuator/grelec prenehati greti, v nasprotnem primeru pa mora grelec pričeti z delovanjem. Grelec lahko nadzorujemo tudi z velikostjo energije, ki mu jo dovajamo. Celoten proces se izvaja tako dolgo, da dosežemo želeno temperaturo.

1.3 Napredne regulacije

V kompleksnih sistemih načrtujemo razne oblike odprtozančnega in zaprtozančnega vodenja. Večkrat imamo opravka s s sistemi, ki imajo t.i. zanko v zanki ali pa z naprednimi metodami načrtovanja dosežemo minimalno število korakov izvajanja ali pa najhitrejši reakcijski čas, itd.

1.4 Vprašanja za ponavljanje

1. Opišite metode vodenja.

2. Kaj je razlika med krmiljenjem in regulacijo?

2 Terminologija

Regulacijski sistemi se načrtujejo s pomočjo matematičnih pristopov. Uporabljajo se logični oz. binarni sistemi. V ta namen so predstavljene matematične funkcije, ki so lahko logične, torej diskretne ali zvezne. Pri načrtovanju realnih sistemov vodenja moramo matematične modele, ki so zvezne narave diskretizirati, da jih lahko implementiramo na računalnikih.

2.1 Sistem

DEFINICIJA

Izraz sistem opisuje množico elementov in njihovih medsebojnih interakcij in odnosov, kot je to prikazano na blok diagram na sliki 2.1. To definicijo podaja popolna množica "S", ki jo sestavlja množica elementov in njihovih medsebojnih odnosov. Sistem "S" ima množico vhodov in izhodov in nanj lahko vplivajo motnje. Izhod sistema ponavadi vpliva na okolico.

Fig. 2.1: Shema sistema

PRIMER

Kot primer kompleksnega sistema je letalo, ki ga sestavlja na stotine samostojnih naprav, ki so različne po lastnostih in morajo biti povezane med seboj. Ker se letalo giba v prostoru, lahko nanj vplivajo veter, temperature, dež, sneg, itd. Motnjo lahko predstavlja turbulenca, strele ali pa izpadi ostale opreme, ki imajo lahko velik vpliv na potek leta. Tukaj so še napake, ki vplivajo na potnike in ne vplivajo na potek leta, kot je okvara luči, vpliva pa na socialne odnose med potniki. Med podsistemi obstajajo povezave na osnovi fizičnih lastnosti.

Iz zgornjega primera je razvidno, da sistem ni samo naprava ampak je lahko sistem, ki je po naravi tehničen, matematičen, socialen, zgodovinski ali kombinacija več dejavnikov. Ta raznolikost sistemov onemogoča trivialno delitev sistemov.

Sistem je lahko mehanske narave, elektronski sistem, socialni sistem, botaničen, ekosistem in kombinacija med seboj povezanih sistemov. Primer sistema je lahko množica ljudi, avtomobil, letalo ali pa ekosistem.

Sistemi se lahko klasificirajo glede na odnose med vhodnimi in izhodnimi spremenljivkami. Lahko so statični, dinamični, linearni, nelinearni, eno-dimenzionalni ali večdimenzionalni.

Glede na število vhodov in izhodov ločimo naslednje sisteme:

- Sistem z enim vhodom in izhodom SISO (ang. single input, single output),

- Sistem z več vhodi in enim izhodom MISO (ang. multi-input, single output),

- Sistem z enim izhodom in več vhodi SIMO (ang. single input, multi-output),

- sistem z več vhodi in več izhodi MIMO (ang. multi-input, multi-output).

Glede na časovne lastnosti sisteme delimo na :

- linearne sisteme s časovno stabilnimi parametri - LTI (ang. Linear Time Invariant System); primer povezava toka, napetosti in upornosti

- ne linearen sistem s časovno ne spremenljivimi parametri - LTNI (Non-Linear Time Invariant System); primer odvisnost toka in napetosti na fotouporu,

- ne linearen sistem s časovno konstantnimi parametri - NTI (ang. Nonlinear Time Invariant System); primer sprememba hitrosti fluida skozi luknjo na dnu posode,

- nelinearen sistem s časovno spremenljivimi parametri NTNI (ang. Nonlinear Time- Non Invariant System); primer povezava med številom porok in rojstev v populaciji.

PRIMER

Primer statičnega sistema lahko opišemo na napetostnem delilniku. Izhod napetosti je definiran kot velikost nadomestne upornosti in napetosti. Ta odnos je podan z naslednjim izrazom

V tem izrazu ni časovne odvisnosti in sistem je opisan le z eno vhodno spremenljivko, to je napetost. Kot nasproten primer je lahko prikazan tok skozi foto upora, ki ni odvisen samo od pritisnjene napetosti ampak je tudi odvisen od intenzivnosti osvetljenosti. To pomeni, da je časovno gledano skozi čas 24 ur, kjer se svetilnost spreminja, sistem dinamičen.

Linearni sistemi so sistemi, kjer vsi udeleženci v procesu delujejo z linearnimi odnosi med vhodi in izhodi. Primer lahko opišemo kot povezavo med razdaljo na izhodu, ki jo povzroči potisk olja skozi cev. Nelinearni sistemi so sistemi, kjer je vsaj ena relacija med vhodom in izhodom nelinearna. Primer lahko ponazorimo z zračno upornostjo avtomobila pri gibanju le tega.

Sistem z enim vhodom in izhodom lahko predstavimo s sistemom hladilnika. Vhodna spremenljivka je lahko izguba toplote v hladilnem prostoru. Izhodna spremenljivka je dejanska temperatura v hladilniku. Primer z letalom lahko opišemo kot sistem z več vhodi kot so veter, hitrost, smer, temperature zunanjega zraka, teža prtljage, itd,, izhodne spremenljivke pa so smerni koti letala, itd.

V tabeli 1 so prikazane spremenljivke s simboli in spremenljivkam je dodan opis .

Tabela 1: Uporabljeni simboli

S = {P;R;U;Y;V}

P – množica elementov set

R – množica relacij

U – množica vhodov

Y – množica izhodov

W – množica referenčnih vrednosti

E – množica spremenljivk refulatorja

V – množica motenj

Spremenljivke sistema: vhod (akcija) spremenljivka "u(t)" izhodna spremenljivka "y(t)" spremenljivka stanja "x(t)", napaka "e(t)" motnja "v(t) "referenčna vrednost " w(t) ".

2.2 Kontinuiteta in diskontinuiteta fizikalnih veličin

Fizikalne veličine v naravi se obnašajo kontinuirano. Z njimi opišemo status neke akcije. Fizikalne veličine uporabimo tudi v sistemih vodenja. Informacije o opazovanih spremenljivkah, kakor tudi ukazi za vodenje se imenujejo signali.

2.3 Signali

V teoriji vodenja so pomembne informacije. Nosilec informacije je signal. Signali so razdeljeni na odvisne in neodvisne spremenljivke. Neodvisna spremenljivka je npr. čas, odvisna spremenljivka pa amplituda. Porazdelitev signalov je naslednja:

- Signali kontinuirani v času (v vsakem času je znana vrednost amplitude):

- Analogni signali, primer na sliki 2.3

- Kvantizirani signali, primer na sliki 2.3

- Signali diskontinuirani v času (med dvema vzorcema amplituda ni znana):

- Vzorčeni (diskretni) signali, primer na sliki 2.3

- Amplituda in časovno-diskretni (digitalni) signali, primer na sliki 2.3.

Slika 2.2: Analogni, kvantizirani, vzorčeni, ne-gladki signal

2.4 Uporabljeni termini

V sistemih vodenja uporabljamo nekatere kratice, ki opisujejo vodenje strojev. Kratice so v angleškem jeziku:

- CNC

- PLC

- PAC

- HMI

- DCS

Numerično vodenje - CNC (Computer Numerical Control)

Razvoj industrije je privedel do razvoja strojev, ki jih vodi računalnik. Operaterje, ki so upravljali s stroji so zamenjala digitalna vezja. Prvi numerično vodeni stroj se je pojavil v 40. ali 50. letih prejšnjega stoletja. Podporne inštrukcije, ki so vodile stroje, so bile shranjene na luknjičastih trakih (NC stroji). Z razvojem računalnikov so trakove zamenjali računalniki oz. mikroporcesorji (CNC stroji).

Moderni CNC sistemi so avtomatizirani in uporabljajo CAD (Computer-Aided Design) in CAM (Computer-Aided Manufacturing) programe. Ti programi naredijo datoteke z informacijami in sekvencami za vodenje stroja za točno določen stroj in točno določen izdelek.

PLC (Programmable Logical Controller)

Programljiv logični krmilnik (PLK) je digitalni računalnik (mikrokrmilnik), ki se uporablja za vodenje strojev in proizvodnih procesov. PLC-ji se uporabljajo skoraj v vsaki proizvodnji. Za razliko od navadnih računalnikov, so PLC-ji narejeni za procesiranje mnogih vhodov, obratujejo v težjih industrijskih pogojih, so odporni na temperaturne razlike, vibracije… Programi so ponavadi naloženi na baterijsko napajanih pomnilnikih ali pa na trajnih pomnilnikih. PLC-ji delajo v realnem času, ker se morajo izhodi hitro odzvati na vhodne pogoje.

PLC-ji so vedno kompleksnejši in ne omogočajo samo implementacijo logičnih funkcij. Podpirajo celo vrsto regulatorjev, umetno inteligenco, zahtevne algoritme, itd. Zato jih včasih imenujemo PAC (Programmable Automation Controller), kar lahko prevedemo kot programljivi sistem za avtomatizacijo.

HMI (Human Machine Interface)

HMI kratica pomeni uporabniški vmesnik. Uporabniški vmesnik je vmesnik med ljudmi in stroji. Naloga vmesnika je, da omogoča učinkovit nadzor nad strojem in prikaže odziv stroja. Prikazuje stanje stroja ali njegovih komponent, vrednosti meritev v procesu, itd. To vse pomaga operaterju pri vodenju stroja ali procesa.

Uporabniški vmesnik vsebuje strojno opremo in programsko opremo. Obstaja več vrst vmesnikov, od mehanskih do računalniško podprtih. Trenutno se veliko uporablja t.i. SCADA sistem (supervisory control and data acquisition), ki prikazuje podatke in animacije.

DCS

DCS je velik proces vodenja sistemov PCS (PCS - Process Control Systems). Uporabljati se je začel v 60. letih z izumom prvih računalnikov, ki so predstavljali numerično rešitev centraliziranega vodenja v velikih tehnoloških sistemih kot so kemični procesi, elektrarne, itd. PCS je bil izključno centraliziran sistem. V 70. letih so se pojavili prvi mikrokrmilniki, ki so dovolili delno decentralizacijo. Ta rešitev se je uporabljala do začetka 80. let. Ti sistemi se v splošnem delijo: za nuklearne programe, ostale tehnološke procese, sistemi vodenja zgradb.

Nekateri DCS so specializirani, nekateri pa so uporabni za široko področje. Izziv je vodenje, kjer je potrebna visoka varnost in zanesljivost. Visoko zanesljivi in varni sistemi so zelo dragi in se ne uporabljajo, kjer niso nujno potrebni.

DCS sistemi so okarakterizirani hierarhično s tremi nivoji od spodaj navzgor::

- nivo senzorjev, senzorji, aktuatorji,

- nivo prvega vodenja (regulacija in vodenje),

- nivo operaterja,

- nadzorni nivo.

DCS se uproabljajo tam, kjer je zahtevana visoka zanesljivost, kjer je ogromno število vhodov in izhodov, kjer je potrebna visoka varnost. Prednost DCS je tudi kompaktnost sistema.

2.5 Vprašanja za utrjevanje

1. Obrazložite pojem sistem in podajte primer!

2. Obrazložite kaj je to signal.

3. Obrazložite imena kratic: CNC, PLC, PAC, HMI, DCS.

3 Digitalna logika in digitalni sistemi

Binarni sistemi se lahko realizirajo z različnimi tehnologikami, ki se nanašajo na realizacijo logičnih funkcij, kot primer naj navedem uporabo tranzistorja. Digitalni sistemi so lahko realizirani s pomočjo

- Fiskne logike

- FPGA

- program na uC

- DSP

- PC

- Shemah za vodenje

Električne sheme za vodenje sistemov so načrti ali simulacijski programi, ki sestavljajo električni krog in realizirajo vodenje z realnimi elementi. Glavne veje vodenja so nadzorovane s stikali ali releji. Elektronsko vezje je sestavljeno iz stikal, kubov za preklapljanje, časovnikov, limiterjev, tuljav in relejev. Nekateri element se lahko zamenjajo z elementi energetske elektronike.

Slika. 3.1: Primer sheme vodenja

Sika prestavlja diagram vodenja s preprostimi funkcijami. Če pritisnemo tipko A se sklene tokokrog in kontakt zaprte stikalo S1. Normalno so sponke 1S1 razklenjene, medtem ko je NC2S1 Z2 odklopljen. Tokokrog deluje tako, da če pritisnemo tipko A se prižge žarnica Z1 in Z”, če jo spustimo se zgodi ravno obratno.

Realizirane so bile neodvisne spremenljivke z dvema logičnima funkcijama, ekvivalenca in negacija.

3.1 Implementacija osnovnih logičnih funkcij

Logična konjunkcija – IN (ang. AND)

V naslednjih primerih je mogoče preučiti delovanje konjunkcije dveh neodvisnih spremenljiv. Odvisna spremenljivka zavzame vrednost 1 samo takrat, če sta v enakem trenutku obe spremenljivki postavljeni na vrednost 1. Primer IN operacije se lahko prikaže pri serijskem povezovanju stikal ali tranzistorjev. Pri mehanski povezavi točk a in b je potrebna mehanska sila.

Slika. 3.2: Logična konjunkcija - IN

Logična disjunkcija ALI (ang. OR)

V naslednjih primerih je mogoče preučiti delovanje disjunkcije dveh neodvisnih spremenljiv.. Odvisna spremenljivka zavzame vrednost 1, ko je vsaj ena od neodvisnih spremenljivk postavljena na 1. Primer lahko ponazorimo s paralelno vezavo stikal ali tranzistorjev, pri mehanskem primeru pa je potrebna le ena mehanska povezava med točkama a in b.

Slika. 3.3: Logična disjunkcija ALI (ang. OR)

Logična negacija (ang. NOT)

V naslednjih primerih je mogoče preučiti delovanje konjunkcije dveh neodvisnih spremenljiv. Odvisna spremenljivka zavzame vrednost 1, ko je neodvisna enaka 0. Primer lahko ponazorimo, da če pritisnemo gumb, se tokokrog razklene, kar lahko naredimo z uporabo ustreznega tranzistorja. Pri mehanski interpretaciji lahko uporabimo mehansko povezavo, ki deluje v nasprotni smeri.

Slika. 3.4: Logična negacija (ang. NOT)

3.2 Simboli za logična vezja

Dane logične operatorje lahko grafično ponazorimo s simboli v električnih vezjih. Slika 3.5 predstavlja vezje za seštevanje dveh bitov. Slika 3.6 prikazuje produkt dveh binarnih števil, medtem ko slika 3.7 prikazuje negacijo. Diagrami se narišejo od leve proti desne.

Fig. 3.5, 3.6, 3.7: seštevanje, produkt in negacija

Pomni: V nekaterih vezjih imajo lahko znaki drugačne oblike.

PRIMER

Primer 3.1

Nariši logični diagram za vezje, ki ga podaja spodnja enačba:

Rešitev 1

PRIMER

Primer 3.2

Nariši logični diagram za vezje, ki ga podaja spodnja enačba

Rešitev 2

3.3 Poenostavljanje izrazov

ZAPISEK

Iz dosedanjih primerov smo videli, da eni binarni logični operaciji ustreza en grafični blok. Z večanjem števila logičnih operacij se veča verjetnost napake v sistemu. Obstajajo metode, kjer lahko logične funkcije poenostavimo. Poenostavitev se izvede s pomočjo Boolove algebra, kjer lahko odpravimo redundance in na ta način zmanjšamo število elementov v vezju. Minimizacijo lahko ponazorimo na primeru:

PRIMER

Funkcija treh spremenljiv f (A, B, C) je dana z naslednjim izrazom:

Za njeno implementacijo potrebujemo 14 logičnih blokov, ki so prikazani na sliki spodnji sliki.

Slika. 3.10: Primer 3.3

Po matematičnem preoblikovanju izraza dobimo naslednji rezultat:

To pomeni, da je rezultat neodvisen od vhodnih spremenljiv B in C in rezultat predstavlja le negacija vhoda A., ki je prikazana na spodnji sliki

Slika. 3.11: Negacija

S primerjavo obeh shem je razvidno, da z minimizacijo Bolovih spremenljiv lahko ogromno prihranimo na številu potrebnih vrat za realizacijo logičnega vezja.

3.4 Programiranje matematičnih funkcij

Za reševanje logičnih vezij obstaja ogromno specializiranih programov in programskih jezikov. Programski jeziki Visual Basic, Fortran, C++ MS Office, Excel in Open Office Calc ponujajo možnosti razreševanja logičnih vezij. Obstajajo tudi programi, kot so OrCAD, Altium Designer, Multisim, itd za načrtovanje tiskanin in preverjanje logičnih povezav. Za modeliranje in analiziranje sistemov pa se je v zadnjem času zelo uveljavil programski jezik MAtlab s Simulink paketom.

3.5 MATLAB

Programski paket Matlab je skupek programov, ki omogoča matematični izračun različnih funkcij in simulacij. Gre za programiranje za klasično programiranje, torej s pomočjo tekstovnega vnosa in s pomočjo grafičnega programiranja. V glavnem podpira tehnična področja, vizualizacijo podatkov, grafično podporo, zajemanje podatkov in obdelavo signalov, slik. Namenjen je tudi kreiranju lastnih programov. . Prednost uporabe paketa je v tem, da imamo izdelanih že mnogo orodij, ki jih lahko uporabimo za reševanje kompleksnih problemov. Poudarek je na reševanju problemov in ne na sintaksi programskega jezika.

Matlab vsebuje

- Grafična orodja in razvojno okolje

- Knjižnico matematičnih funkcij,

- Programski jezik MATLAB,

- MATLAB Graphics,

- Zunanji vmesnik.

Slika. 3.12: Glavno okno programskega paketa MATLAB

Struktura map in trenutna verzija programa

Po tem, ko namestimo program, se le ta nahaja v mapi: "c: \ Program Files \ MATLAB \ R2012b \ *. *" za vsako verzijo. Trenutna verzija je verzija 8, ki simbolizira mapo "R2012b". Dva krat na leto se program posodobi z novimi funkcijami in izboljšavami, zato obstajate verzija 2012a, ki ponazarja pomladansko verzijo in 2012b, ki ponazarja jesensko verzijo. Nova verzija ne prepiše stare ampak doda novo mapo, kot je prikazano:

c:\Program Files\MATLAB\R2012a\*.*
c:\Program Files\MATLAB\R2012b\*.*

Trenutna verzija je tudi vidna v orodni vrstici, kot je prikazano na spodnji sliki:

Slika. 3.13: Trenutna verzija programa

Slika. 3.14: Struktura okolja MAtlab

Matlab je zasnovan modularno in dovoljuje razširitve in dopolnitve v izračunih. OSnova je MAtlabova knjižnica s t.i. orodji. Simulink je podpora grafičnemu programiranju in je namenjen simuliranju dinamičnih sistemov. Simulink je podprt s t.i. knjižnico blokov. Diagram blokov v Simulinku je prikazan na sliki 3.14.

Dokumentacija programskega paketa Matlab je zelo obširna in jo lahko dobimo le v elektronski obliki. Dokumentacija obsega seznam ukazov in njihovo obrazložitev, seznam primerov, obrazložitev kaj je novega v trenutni verziji. Iskalno orodje omogoča brskanje po knjižnici in omeniti moramo, da je na voljo zelo razširjena verzija uporabniških programov, ki jih delijo uporabniki Matlaba.

PRIMER

Primer rešitev

Vsa poglavja Matlaba so podprta s primeri. Kot primer smo izbrali reševanje RLC vezja, kjer je izračun izveden z numeričnim odvajanjem in integriranjem in rezultati so predstavljeni v grafični obliki, kot je prikazano na spodnji sliki in tabeli 3.15

Slika. 3.15: Primer numerične rešitve

SIMULINK

SIMULINK je razširitev programskega paketa MATLAB, ki omogoča grafično programiranje in simuliranje dinamičnih pojavov. Za sistem, ki je opisan z diferencialnimi ali diferenčnimi enačbami lahko realizirani s pomočjo grafičnih blokov, ki jih najdemo v blokovni knjižnici. Obstaja več simulinkovih knjižnic:

- Simscape (osnovna knjižnica),

- SimDriveline,

- SimHydraulics – knjižnica rešitev za hidravlične sisteme in mehanizme,

- SimMechanics,

- SimPowerSystems – knjižnica z rešitvami za visoko napetostne električne sisteme.

Slika. 3.16: Simulinkove knjižnice

Obstaja knjižnica z najbolj uporabljenimi bloke, ang. "Commonly Used Blocks".

Slika. 3.17: Primer knjižnice blokov

Za primer smo izbrali RLC vezje, kjer z integralno diferencialnimi enačbami zapišemo sistem. Enačbe so izvedene z vnaprej pripravljenimi bloki, vpisati moramo le vrednosti spremenljivk. Na desni strani slike je prikazan stopnični odziv sistema, kjer je bil uporabljen blok osciloskopa za prikaz časovnega odziva sistema, kot je to pokazano na sliki 3.18.

Slika.3.18 Primer časovnega poteka odziva sistema

3.6 Vprašanja za utrjevanje

1. Narišite grafične simbole logičnih operatorjev.

2. Opišite načine na katere lahko realiziramo logične.

3. Narišite realizacijo logičnega produkta z grafičnimi simbol.

4. Narišite realizacijo negacije z grafičnimi simboli.

5. Narišite realizacijo seštevalnika s tranzistorji.

6. Narišite logično realizacijo množenja s tranzistorji.

7. Narišite realizacijo negacije s tranzistorji.

8. Narišite seštevalnik z mehanskimi elementi.

9. Narišite realizacijo logičnega produkta z mehanskimi elementi.

10. Narišite realizacijo negacije z mehanskimi elementi.

4 Preklopne funkcije, Boolova algebra, logične tabele, Karnaugov diagram, minimizacija, izvedbene logične funkcije

4.1 Logične funkcije

Kot smo omenili, del teorije regulacij in sistemov temelji na matematičnem modeliranju sistemov in sistemskih funkcij. V tem razdelku bomo predstavili določena področja matematičnih logičnih funkcij, preklopnih funkcij in Boolovo algebro. Predstavili bomo aplikacije na katerih se bo uporabila predstavljena teorija, zakoni in pravila in poenostavitev logičnih izrazov. Predstavili bomo Karnaugove diagrame, ki jih uporabljamo za matematično predstavitev verbalnih izrazov in spremenljivk. V tretjem poglavju bomo tudi predstavili implementacijo predstavljenih matematičnih izrazov na tehniških problemih.

4.2 Propozicijska algebra

Sklepanje

Termin sklepanje ima definicijo v matematiki logike: »za vsako trditev lahko dodelimo nedvoumno logično vrednost v vsakem času«. Sklepanje je lahko tudi predlog, kako se bo odločilo v prihodnosti.

Izjava lahko ima dve vrednosti: pravilno, nepravilno. Pravilne izjave lahko označimo z: da, pravilno, 1, +, high, H. Nepravilne izjave uporabljajo oznake: ne, nepravilno, 0, -, nizko, L.

PRIMER

Za boljše razumevanje podajmo nekaj primerov:

- »Padec napetosti je proporcionalen toku skozi prevodnik« Ta izjava je pravilna, njena vrednost je: pravilno.

- »Induktivnost je enaka produktu toka in napetosti« Ta izjava je nepravilna in ima vrednost: nepravilno.

- »V ozvezdju Oriona živijo čuteča bitja« To je izjava in njena vrednost bo znana v prihodnosti.

- »Kaj imamo tukaj?« To ni izjava. To je vprašanje.

- »Pojdi si umit roke!« To tudi ni izjava, ampak velelni stavek.

Propozicijsko računanje

Kot propozicijo razumemo v matematični logiki odnose med izjavami, in sicer ali je izjava pravilna ali nepravilna.

Znak ali jezikovni izraz s katerim se formira nova izjava se imenuje funktor.

Najpomembnješi funktorji so:

- Funktor negacije – oznaka je Ā – in pomeni negacija: »ne, nepravilno«.

- Funktor konjunkcije – oznaka je A˄B in pomeni logični produkt: »and, hkrati«

- Funktor disjunkcije – oznaka je A˅B in pomeni logični ali: »ali«

- Funktor implikacije – oznaka je A→B. Logična implikacija je: »od… do, če…potem«.

- Funktor ekvivalence – oznaka je A ↔ B. V besedi: »če in samo če«.

Pomembno je, da lahko vse prej naštete fraze obdela stroj.

Logične funkcije

V klasinčni algebri je definicija funkcije: funkcija je preslikava, ki vsakemu elementu množice A priredi natanko en element množice B. Tako lahko tudi v matematiki logike definiramo logično funkcijo. Logična funkcija preslika odvisno in neodvisno logično vrednost. Logične spremenljivke so binarne spremenljivke, ki zavzamejo vrednosti 0 ali 1.

Logična funkcija je lahko funkcija ene ali več spremenljivk.

y = f (x_1; x_2; x_3; ...; xn)

Vsako logično funkcijo lahko izrazimo na tri načine in dobimo enake rezultate:

- Kombiniranje negacije, disjunkcije in konjunkcije.

- Uporaba Piercove funkcije NOR. NOR je negacije disjunkcije dveh izjav.

- Uporaba Sheferjeve funkcije NAND. NAND je negacija konjunkcije dveh izjav. Je pogosto uporabljena, ker lahko vsako operacijo NAND izvedemo z enim tehniškim elementom.

Logične funkcije lahko napišemo logično ali pravilnostno tabelo. Logična tabela je kratka izjava vseh kombinacij neodvisnih spremenljivk, ki se lahko pojavijo. Število možnih dogodkov, ki se lahko zgodijo, se izračunajo po formuli:

k = 2n

kjer je k število vseh možnosti, n pa je število vseh spremenljivk.

Logična ali pravilnostna tabela je ilustrirana v sledečem primeru.

PRIMER

Primer 4.1

Uporaba pravilnostne tabele logične funkcije Y, ki je funkcija treh spremenljivk in je izražena s formulo:

Glede na formulo je izračunanih 8 možnosti za neodvisne spremenljivke.

A

B

C

Not A

Not B

A+not B

B+C

C+not A

Y

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

Prvi trije stolpci so neodvisne spremenljivke, ki jih je priporočljivo izpolniti zaporedno od zadnjega stolpca (v tem primeru C), in sicer po vrsticah izmenično izmenično z 1 in 0. Stolpec B izpolnimo z dvakrat zaporednima ničlama in enkama. V stolpcu A zopet podvojimo vrstice, itd. Tako postopamo, ko imamo več spremenljivk. Ostali stolpci postopoma rešujejo logično funkcijo. Zadnji stolpec je rezultat logične funkcije.

4.3 Boolova algebra

Sestavni tehniški elemneti uporabljeni v karmilnikih in regulacijah, kot so gumbi in stikala imajo dve vrednosti. Britanski matematik Bool je izumil računanje z binarnimi operatorji, zato to logiko imenujemo Boolova algebra. V ta namen je razvil pravila za računanje z binarnimi števili in tej množici pravil pravimo Boolova algebra, ki je definirana z naslednjimi pravili:

- Komutativnost

- Asociativnost

- Distributivnost

- Pravilo nevtralnosti in agresivnosti 0 in 1

- Pravilo neodvisnosti elementov

- Pravilo o izključevanju

- Dvojna negacija

- De Morgan-ova pravila

- Dvig in absorpcija negacija

Zakoni

Osnovni zakoni komutativnosti, asociativnosti in distributivnosti, ki so definirani za Boolovo algebro so podani v Tabeli 2in so predstavljeni v obliki disjunkcije in konjunkcije. V klasični algebri prevladujeta vsota in odštevanje množenje, pri Boolovi algebri pa vsota in logični produkt.

Tabela 2: Glavna pravla

Lastnost

Disjunkcija

Konjunkcija

komulativnost

A ˅ B = B ˅ A

A ˄ B = B ˄ A

asiciativnost

(A ˅ B) ˅ C = A ˅ (B ˅ C)

(A ˄ B) C = A ˄ (B ˄ C)

distributivnost

(A ˅ B) ˄ C = A ˄ C ˅ B ˄ C

(A ˄ B) ˅ C = (A ˅ C) (B ˄ C)

V tabeli 3 so prikazani različni zapisi disjunkcije in konjunkcije, v splošnem pa imajo vsi enak pomen.

Tabela 3: Različni zapisi logičnih operatorjev

A ˅ B

A + B

A or B

A ˄ B

¬ A

not A

Pravila

Boolova algebra je dopolnjena z množico pravil, ki olajšajo računanje logičnih funkcij. Seznam pravil je prikazan v tabeli 4.

Table 4: Pravila Boolove algebre

Pravilo

Seštevanje

Množenje

Nevtralni element 0 in 1

A + 0 = A

Identiteta

A + 1 = 1

Idempotenca

A + A = A

Nasprotni element

De morganovo pravilo

Pravilo absorbcije

Pravilo negacija absorbcije

Pravilo dvojne negacije

PRIMER

Primer 4.2

Poenostavite funkcijo treh spremenljivk:

Najprej uporabimo tretje pravilo, ki govori o absorpciji negiranega elementa.

Nato uporabimo pravilo o neodvisnosti elementov.

To pomeni, da vrednost funkcije vedno enaka nič, ne glede na kombinacijo vrednosti vhodnih spremenljivk.

4.4 Karnaughjevi diagrami

V prejšnjem poglavju smo rešili primere, kadar so bili znani matematični izrazi logičnih funkcij. Vendar se večkrat srečamo s primeri, ko je potrebno najti matematični izraz kot izhod logičnih funkcij. Za ta namen uporabimo t.i. grafične diagrame. Eden najbolj uporabljenih je Karnaughjev diagram. Obstaja več načinov kako izraziti logično tabelo, katera uporablja poenostavljene logične izraze. Za boljšo ilustracijo podajmo naslednji primer. Logična tabela je logična predstavitev rezultatov za vse kombinacije neodvisnih spremenljivk.

Primer logične tabele s tremi neodvisnimi spremenljivkami so podane v primeru 4.1. V prvih treh stolpcih so vrednosti neodvisnih spremenljivk. Zadnji stolpec pa prikazuje vrednosti odvisne spremenljivke.

V Karnaughjevem diagramu rezultat ponazorimo s pravokotnim poljem. Na vsaki strani pravokotnika so vrednosti neodvisnih spremenljivk. Ni pomembno na kateri strani so vpisane spremenljivke. Pravilno izpolnjene vrednosti neodvisnih spremenljivk se razlikujejo za en bit glede na sosednje stolpce oz. vrstice. Opazimo, da celice tvorijo vrednosti odvisnih spremenljivk. So kombinacija neodvisnih spremenljivk. Za boljše razumevanje je podan naslednji primer z razlago.

PRIMER

Primer 4.3

Podali bomo primer na sistemu za javljanje požarov. V prostoru imamo tri neodvisne požarne senzorje. Kadar najmanj dva senzorja zaznata alarm je potrebno razglasiti požarni alarm. Matematično izraženo: logična funkcija treh spremenljivk Y mora na izhodu dati rezultat pravilno, če na vsaj dva vhoda pride vrednost pravilno.

Rešitev problema:

Primer je predstavljen v logični tabeli. To je funkcija treh neodvisnih spremenljivk "Y = f(X_1, X_2, X_3)." Število vseh kombinacij neodvisnih spremenljivk izračunamo glede na formulo št. 3.1. A je enako osem, to pomeni, da ima logična tabela osem vrstic. Glede na proceduro opisano v primeru 4.1, napišemo neodvisne spremenljivke. Stolpec z odvisno spremenljivko Y je izpolnjen glede na formulacijo problema. V našem primeru moramo paziti na „najmanj dva vhoda“ oz. „samo dva vhoda“. V obeh primerih je rešitev različna. Logična tabela za ta primer je spodaj:

X_1

X_2

X_3

Y

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

Odvisna spremenljivka Y lahko zavzame različne oblike kot npr. "2 x 4" or 4 x 2 ". Polje z osmimi elementi poda še več možnosti. V tem primeru je izbrana oblika Karnaughjevega diagram "2 x 4". V horizontalno stran polja so vpisane neodvisne spremenljivke "X_1" (zgornja vrstica) in "X_2" spodnja vrstica. V vertikalno stran polja so vpisane ostale neodvisne spremenljivke "X_3". Vpis neodvisnih spremenljivk je odvisna samo od reševalca in ne vpliva na končen rezultat. V naslednjem koraku napolnimo vrednosti z neodvisnimi spremenljivkami tako, da se spremenijo za en bit (Grayjev kod), ko jih premaknemo na sosednjo vrstico oz. vrstico. Rezultat je v spodnji tabeli:

Celice so napolnjene s poljem odvisnih spremenljivk, ki prikazujejo kombinacije vrednosti neodvisnih spremenljivk:

Rešitev problema je naslednja. Diagram bo kombiniral polje, ki vsebuje vrednost 1¸glede na naslednja pravila:

- Bloki naj bodo čim večji, da prekrijejo vse ničle.

- Število povezanih polj v bloku mora biti celoštevilčno, in sicer 2n (1,2,4,8,16, itd.).

- Posamezni bloki se lahko prekrivajo.

Logični izraz enega bloka se imenuje term in vsebuje konjuktivne vhodne spremenljivke, katere ne spremenijo vhodne vrednosti. Minimizirana logična funkcije se napiše glede na te disjuktivne terme. Rezultat je podan kot matematični logični izraz:

Karnaughjev diagram lahko rešimo tudi s pokrivanjem polj z ničlami. Rezultajoča logična funkcija je negacija disjunkcije terminov. Prejšnji primer bi bil takšen:

Rešitev je izbrana glede na polja, ki jih je manj.

4.5 Implementacija logičnih funkcij

V avtomatiki stroji tvorijo izhod glede na vhode in glede na pogoje. Vsak pogoj je lahko izražen kot logična spremenljivka, ki lahko zavzame dve vrednosti “ena” ali “nič”. To poenostavi logične funkcije.

PRIMER

Primer 4.4

Imamo eno neodvisno spremenljivko "X". Ta spremenljivka lahko zavzame dve vrednosti 1 ali 0. Odvisna spremenljivka je "Y" je rezultat logične funkcije:

Vse možnosti, ki jih lahko zavzame spremenljivka Y, so opisane v tabeli.

X

Y_1

Y_2

Y_3

Y_4

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

Jasno je, da imamo štiri možnosti, to pomeni štiri logične funkcije. Njihova praktična implementacija bo predstavljena na enostavnem primeru električnega vezja, sestavljenega iz stikal, žarnic in žic. Neodvisna spremenljivka X je “matematična sila”, ki deluje na stikalo, odvisna spremenljivka je žarnica. Ko je stikalo vklopljeno, žarnica zasveti, vrednost Y = 1 samo, če je X = 1.

Slika 4.1: Logična funkcija Y_3

Logična funkcija Y_2. Ko je stikalo pritisnjeno, žarnica ne sveti, vrednost Y = 1 samo, če je X = 0.

Slika 4.2: Logična funkcija Y_2

Logična funkcija Y_4. Vseeno ali je stikalo vključeno ali ne, žarnica sveti pri vsaki vrednosti Y = 1 in ni odvisno od X.

Slika 4.3: Logična funkcija Y_4

Logična funkcija Y_1. Vseeno je, če je stikalo vključeno ali ne, žarnica ne sveti, vrednost je Y = 0 in ni odvisna od X.

Slika 4.4: Logična funkcija Y_1

4.6 Vprašanja

1. Katere trditve so lahko ali ne morejo biti stavek in podajte primere?

2. Kaj veste o trdilnih operacijah?

3. Pokažite in razložite na primeru konjunktivnega stavka.

4. Pokažite in razložite na primeru disjunktivnega stavka.

5. Pokažite in razložite na primeru negiranega stavka.

6. Razložite koncept logičnih funkcij.

7. Opišite logično funkcijo z eno spremenljivko.

8. Kaj določa število kombinacij logične funkcije z več spremenljivkami

9. Kaj veste o osnovnih zakonih in pravilih Boolove algebre?

10. Kaj so diagrami in zakaj se uporabljajo?

11. Kaj razumete pod terminom kronološki signali?

12. Kaj je razlika med diagramom in logično tabelo?

4.7 Praktični primeri

PRIMER

Z uporabo logičnih tabel preverite pravilnost izrazov:

Rešitev 3

PRIMER

Poenostavite in preverite spodnje izraze z uporabo pravilnostnih tabel:

Rešitev 4

PRIMER

Primer 4.5

Poiščite časovni potek izhodnega signala logične funkcije:

Rešitev 5

PRIMER

Primer 4.6

Napišite logično tabelo za funkcijo s štirimi spremenljivkami, kjer je Y = 1, kadar sta dva vhoda 0, izpeljite matematični izraz z uporabo Karnaughjevih diagramov.

Rešitev 6

PRIMER

Primer 4.7

Napišite tabelo za funkcijo treh spremenljivk, kjer je Y = 1, če je hkrati na dveh vhodih vrednost 1. Poiščite matematični izraz s pomočjo Karnaughjevih diagramov.

Rešitev 7

PRIMER

Primer 4.8

Napišite logično tabelo za funkcijo 4. spremenljivk, kjer je Y = 1, če so trenutno samo trije vhodi na 1, poiščite matematični izraz s pomočjo Karnaughjevih diagramov.

Rešitev 8

4.8 Porazdeljeni sistemi

ZAPISEK

Sistemi vodenja so razdeljeni glede na funkcionalnost v tri skupine:

- Logični sistemi,

- digitalni sistemi,

- hibridni sistemi.

Logični sistemi

Logični sistemi so sistemi, ki se povežejo z okolico z uporabo dveh vrednosti (da, ne ali 1, 0, itd). Ta sistem obdela informacije glede na pravila Boolove algebre in se imenujejo tudi t.i. Boolovi ali binarni sistemi. Binarni sistem je lahko narejen s kontaktnimi ali brez kontaktnimi stikali.

Digitalni sistemi

Digitalni sistemi so takšni, ki delajo z aritmetičnimi operacijami, ki jih vodijo pravila algebre. Uporablja osnovne operacije algebra: seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje, lahko uporabljajo tudi bolj kompleksne operacije in funkcije. Digitalni sistemi so osnovani na mikroprocesorjih.

Hibridni sistemi

Kombinacija logičnih in numeričnih operacij v enem sistemu se imenuje hibridni sistem.

Sistemi vodenja so prav tako razdeljeni glede na metodo procesiranja informacij v dve skupini:

- preklopno vodenje

- sekvenčno vodenje

Preklopno vodenje

Vrednost izhodnih spremenljivk je odvisna samo od kombinacije trenutnih vhodnih vrednosti.

Sekvenčno vodenje

Sekvenčno vodenje vodi sistem glede na čas ali stanje vodenega procesa. Možno je tudi, da združuje obe funkciji.

4.9 Vprašanja

1. Kakšne sisteme poznamo?

2. Poznate kakšne tipe vodenja?

4.10 Preklopne logične funkcije

Vsa logična vezja lahko razdelimo v dve večji skupini glede na način procesiranja. Prva skupina se imenuje preklopna logična vezja, ki bodo opisano v tem poglavju. Logična vezja naslednje skupine so sekvenčna logična vezja, ki so opisana v poglavju 5. Osnovna razlika med njima je v tem, da imajo sekvenčna vezja možnost pomnjenja stanj v vezju in časovno vodenje.

Reševanje preklopnih logičnih vezij

Preklopna logična vezja nimajo spomina in so izhodi odvisni samo od kombinacije vhodov. Ta vezja lahko načrtujemo z naslednjimi logičnimi funkcijami:

- Logična vrata IN, ALI in negator,

- funkcija NAND (Shefferjeva funkcija),

- NOR funkcija (Pierceova funkcija).

Reševanje logičnih vezij je možno z uporabo dveh oblik: disjunktivno normalno obliko ali konjunktivno. Obe obliki vsebujeta vse logične funkcije, katere lahko rešijo nalogo. Disjunktivna normalna oblika išče rešitve, kjer izhodne spremenljivke vzamejo vrednost 1. V kontrast: konjunktivna normalna oblika išče rešitve, ki zavzemajo vrednost 0. Končna negacija delne rešitve reši nalogo. Rezultat rešitve ni odvisen od oblike rešitve. Oblika rešitve je odvisna od težavnosti procedure. Torej pri Karnaughjevem diagram izberemo dijunktivno obliko, če je več ničel in obratno.

PRIMER

Primer 4.9

Napišite Karnaughjev diagram s štirimi spremenljivkami, kjer je Y = 1 in samo dva vhoda imata vrednost nič. Podajte matematični izraz.

Disjunktivna normalna oblika:

Konjunktivna normalna oblika restive:

4.11 Uporaba preklopnih logičnih vezij

Ker preklopna vezja nimajo spomina se uporabljajo za reševanje logičnih tabele. Uporabljajo se večinoma za:

- Multiplekserje in demultiplekserje,

- kodiranje oddajanja,

- varnostna vezja.

4.12 Multiplekserji in demultiplekserji

Predstavljajmo si, da prenos informacije (na daljše razdalje) uporablja paralelno vodilo. Takšen prenos potrebuje veliko število paralelnih vodnikov za komunikacijo. Na primer, 16-bitni paralelni prenos informacij preko serijskih linij zahteva najmanj 16 vodnikov.

Multiplekser (set inštrukcij) je naprava, ki zagotavlja pretvorbo informacij poslanih po paralelnih linijah v serijsko komunikacijo. Demultipleksor na drugi strani pa “razdruži” serijsko komunikacijo nazaj v posamezne vodnike vodila.

Fig. 4.5: Funkcija multiplekserja in demultiplekserja

Na levi strani slike 4.6 je 4-bitno vodilo. Vodniki so označeni od V1 do V4. Informacija se prenaša s paralelno kombinacijo 4 bitov. Vsi 4 vodniki so vhodi v multiplekser (MUX), kateri pretvori paralelno vodilo v serijsko v sekvenci od V1 do V4. Ta informacija potuje preko serijske linije in nato jo demultiplekser pretvori nazaj v originalno informacijo.

Slika 4.6 prikazuje 4-kanalni logični diagram multiplekserja. V1 do V4 so podatkovni vhodi. Vhoda A in B sta naslovna ter EN je blokiranje vhoda. Funkcijo multiplekserja določa naslednja logična table.

Tabela 5: Logična tabela

EN

B

A

Q

0

0

1

0

0

V1

1

0

1

V2

1

1

0

V3

1

1

1

V4

Slika 4.6: Multiplekser

SLika 4.7: Demultiplekser

Slika 4.7 prikazuje logični diagram 4- kanalnega demultiplekserja. Vhod Q razdeli na izhode V1-V4. Vhoda A in B sta naslovna ter EN blokira vhode. Spodaj je logična tabela demultiplekserja.

Tabela 6: Logčna tabela

EN

B

A

výstup

0

0

1

0

0

V1

1

0

1

V2

1

1

0

V3

1

1

1

V4

4.13 Pretvornik kod

Logični sistemi delajo z binarnimi vrednostmi (1 in 0, H in L…). Obstaja veliko binarnih kod poznanimi pod BCD kod (Binary Coded Decimal).

PRIMER

Primer 4.10

Načrtajte pretvornik med binarno kodo in sedem segmentnim prikazovalnikom. Logična tabela je spodaj. Vsak segment je priključen na svojo električno žico po kateri steče tok in zasveti se posamezen segment. Prikazovalnik izriše 10 digitov (0-9). To je 10 kombinacij izhodnih vrednosti. Število izhodov je odvisno od število vhodov po enačbi 3.1. Pri treh vhodih imamo 8 izhodov, kar je premalo, pri štirjih vhodih imamo 16 izhodov, kar pa je preveč. Posledično bomo vzeli 4 vhodne spremenljivke, ki jih bomo označili od V1 do V4.

Logična tabela:

V_4

V_3

V_2

V_1

a

b

c

d

e

f

g

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

2

0

0

1

0

1

1

0

1

1

0

1

3

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

4

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

5

0

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1

6

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

7

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

8

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

9

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

10

1

0

1

0

x

x

x

x

x

x

x

11

1

0

1

1

x

x

x

x

x

x

x

12

1

1

0

0

x

x

x

x

x

x

x

13

1

1

0

1

x

x

x

x

x

x

x

14

1

1

1

0

x

x

x

x

x

x

x

15

1

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

Prvi stolpec je prikazana številka. V1 do V4 so porazdeljeni klasično. Desna stran tabele pa so izhodi za vsak individualni segment. Vrednost 1 pomeni, da segment sveti. V naslednjem koraku je potrebno sestaviti Karnaughjev diagram za vsak segment.

Za segment “a” je:

Izraz z vrednostjo x je enak izrazu z vrednostjo 1. Funkcija za segment:

Za izračunano enačbo obstaja shema:

Enaka procedura je tudi za segmente od b do g. Ti bloki so povezani na vodilo V1 do V4.

4.14 Vezja za varnost

To so npr. vezja za požarne alarme (EPS) ali elektronske varnostne sisteme (ESS). Delujejo na principu, da morata vsaj dve vhodni spremenljivki biti postavljeni na 1.

5 Sekvenčne logične funkcije, narava obnašanja sekvence, sekvenčni in trenutni logični elementi, sinhrono in asinhrono izvajanje

5.1 Sekvenčne logične funkcije, sekvenčna logična vezja

Za razliko od preklopnih vezij, sekvenčna vezja uporabljajo tudi notranja stanja vezja in vsebuje interni digitalni pomnilnik. Digitalni pomnilnik je narejen z bistabilnimi flip elementi.

Flip elementi so lahko bi- ali monostabilni. Bistabilni lahko zavzame dva možna stanja v pripravljenosti. Vsako stanje na bistabilnem flip-flopu bo ostalo, do naslednje spremembne vhodov. Lahko si ga predstavljamo kot dvopozicijsko stikalo.

Na drugi strani pa poznamo monostabilni element, ki lahko zavzame samo eno stanje. Po impulzu, monostabilni element nastavi stanje na originalno.

Flip elementi lahko preklapljajo je sinhrono ali asinhrono. V tem primeru se stanja časovno spreminjajo. Pri asinhronem načinu, flip elementi menjajo stanje samo takrat, ko se zgodi sprememba na vhodu. Sinhroni flip elementi pa spremenijo stanje, ko se poleg spremembe vhodov zgodi tudi sinhronizacijski (urin) pulz.

5.2 Binarni pomnilnik

Binarni pomnilnik shranuje vrednost signala. Digitalni spomin je shematsko prikazan na sliki 5.1. Vhodi so označeni s črkami „S“ (angleška beseda set) in „R“ (reset). Izhodni vrednosti sta komplementarni in zavzameta vrednost glede na logično tabelo.

Slika. 5 .1: binarni pomnilnik

Tabela 7: Logična tabela binarnega pomnilnika

S

R

Q

0

0

1)

1)

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

2)

2)

0→1

0→1

0       1
or
1       0

1) prejšnje stanje

2) nedovoljeno stanje; kadar oba vhoda hkrati spremenita stanje iz 0 na 1 nato pa en od izhodov ponesreči zavzame vrednost 0 in drugi 1, glej sivo področe v tabeli.

Logična funkcija binanrnega pomnilnika je lahko narejena z uporabo dveh NAND vrat (negiran logični produkt). Shema je na sliki 5.2.

Slika 5.2: Uporaba NAND

(Invertiran logični produkt). Diagram je na sliki 5.2.

Tehniška realizacija binarnega pomnilnika je lahko tudi mehanska (Slika 5.4), električna (Slika 5.3), hidravlična ali elektronska.

Slika 5.3: Električna realizacija RS vezja

Slika 5.4: Mehanska realizacija RS vezja

5.3 Sinhrono in asinhrono izvajanje

Asinhronski flip-flopi

Asinhronski flip-flop ni voden z nobenim časovno odvisnim signalom in lahko spremei stanje takoj, ko se zgodi sprememba vhoda.

Osnovno flip-flop vezje je “RS”, sestavljeno iz NAND vrat, prikazano na sliki 5.6. Na sliki 5.5 vezalni diagram.

Slika 5.5 5.5: Piktogram

Slika 5.6: Realizacija z NAND vrati

Na sliki 5.7 je izvedba RS flip-flopa z NOR vrati. Na sliki 5.8 pa je vezalna shema. Ta vezja imajo eno vmesno stanje.

Fig. 5.7: Pictogram

Fig. 5.8: Realizacija z NOR vrati

Ostali flip-flopi so "SL" (set, latch - blocking) ali "EL" (erase - delete, latch). Shematski symbol in logična vezava SL-tipa je na sliki 5.9 ter EL-flip flop na sliki 5.10.

Slika 5.9: Prožilno vezje SL

Tabela 8: Logična tabela za proženje SL flip-flopa

S

L

Q

0

0

Prejšnje stanje

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

Slika 5.10: Prožilno vezje EL

Tabela 9: Logična tabela za proženje EL flip-flopa

E

L

Q

0

0

Prejšnje stanje

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

Sinhronski flip-flopi

V vsakdanjem življenju srečamo dve vrsti sekvenčnega vodenja. Na primer, zaščita delavca pri vstopu v delovno območje robota in pa primer, ko pešeč varno prečka semaforizirano križišče. V prvem primeru se takoj ustavi delovanje robota. V drugem primeru pa najprej pešeč pritisne gumb in čaka, da je prehod varen. V prvem primeru je potrebno uporabiti asinhronski flip-flop, ker se more sistem takoj odzvati na dogodek. V drugem primeru pa sistem čaka na pulz, ki ga dobi preko tipke, ki jo pritisne pešec. Za spremembo izhoda se lahko uporabi naraščajoči ali padajoči pravokotni pulz.

Sinhroni flip-flop ima tri vhode, poimenovane: "J", "K" in "C" (clock – vhodni urin signal). Izhoda sta komplementarna Q in . Simbol in logična tabela z vodenjem z naraščajočim nivojem urinega signala sta v tabeli 5.4. Odziv izhoda glede na vhode je na sliki 5.12. Slika 5.13 prikazuje izris logičnega vodenja sinhronega flip-flopa z naraščajočim urinim signalom.

Slika 5.11: Prožilno vezje JK

Tabela 10: Logična tabela za proženje JK

C

J

K

Q

0

0

Prejšnje stanje

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

Negacija prejšnjega stanja

Slika 5.12: Izhodni signal v času t

Slika 5.13: Logična shema JK flip-flopa

5.4 Vprašanja

1. Opišite funkcijo in aplikacijo sekvenčnega logičnega vezja.

2. Razložite koncept binarnega pomnilnika.

3. Razložite asinhronsko prožilno vezje.

4. Razložite sinhronsko prožilno vezje.

5. Opišite na primeru uporabo sinhronskega prožilnega vezja.

6 Nekaj o mehki logiki

6.1 Uvod

Mehka logika je del umetne inteligence. Njena naloga je posnemanje naravnih nedoločenostih in nedoločenosti človekovega razmišljanja. Na ta način je mogoče realizirati posnemanje narave v tehniki.

Obstaja veliko logičnih aplikacij v različnih vejah – v regulacijah, tehnični diagnostiki v geologiji, lingvistiki, biologiji…

ZANIMIVO

Ne rečemo “da, da, ne, ne”

“Naj bo vaš jezik da, da – ne, ne!”, to bi bil idealni jezik. Takšen jezik ponavadi pričakujemo od politikov. Na naš način razmišljanja je vplivala grška filozofija (deloma z učenjem Aristotla in njegove logike). Logično razmišljanje je naredilo velik napredek v znanosti od srednjega veka dalje. Vsi računalniki, sistemi vodenja, komunikacijski sistemi in ostale digitalne naprave delujejo na osnovi dveh logičnih vrednosti.

V realnosti je situacija bolj komplicirana, je osnovana na našem racionalnem razmišljanju, da mora točno vprašanje podati točen odgovor. Vendar v dejanskem jeziku in razmišljanju ni vedno tako in se razlikuje od logičnih pravil. Kot primer, poskusite analizirati stavek “nič ni nemogoče”. Pogosto uporabljamo, “mehke” in “nedoločene” besede: “nisem prepričan”, “mogoče”, “približno”, “verjetno”, “po mojem mnenju”, “več ali manj”, “skoraj”, “raje ne”… Včasih je težava tudi v govorčevem besednem zakladu. Ali pa pri prikirvanju resnice oz. kjer je težko enostavno razložiti, npr. pri govorih odvetnikov, diplomatov, itd.

Napačna izjava, subjektivno ocenjevanje

Pri naši interpretaciji in ocenjevanju podzavestno uporabimo naše osebne “filtre” in “vzorce”, ki so individualni in odražajo pretekle izkušnje. Posledično označimo nekaj novege kot: “Zagotovo sanjam”- vendar je to samo naša napačna interpretacija zaradi neizkušenosti. Če je naše znanje in mnenje nedoločeno, je naravno, da potem komuniciramo tudi s takšno nedoločenostjo.

Slika 6.1: Ostro razlikovanje. 0-ledeno, 1-mrzlo, 2-sveže, 3-prijetno, 4-toplo, 5-vroče; A-resnično, B-temperatura

Težava se pojavi, kadar je potrebno dostopati do točnih in eksplicitnih podatkov. Slika prikazuje poskus razlikovati podatke o temperature vode, oseba pred kopanjem subjektivno oceni temperature vode. Meja med prijetno in toplo vodo je nekje pri 36 °C. Seveda lahko diskutiramo o vrednostih posameznega območja, ker vsak posameznik drugače sodi temperaturo.

Mehka logika – matematična veja

Posledično, so izumili mehko logiko. Lotfi Zadeh je prvi objavil članek o mehki logiki v 50. letih prejšnjega stoletja. Požel je veliko zanimanje, posebej na aplikativni ravni. Obstaja veliko literature na to temo. Osnovno dojemanje mehke logike je prezahtevno za rutinsko uporabo za PLC programerje, ki bi jo radi uporabili v praksi.

POVZETEK

Povzetek

Logika je znanstveno področje, ki se ukvarja z mehanizmom človekovega razmišljanja in skelpanja. Zgodovina logike sega nazaj do filozofov antične Grčije. Najbolj poznan Aristotel, ki je prvi omenil logiko z dvema vrednostima in s tem vplival na celotno zahodno civilizacijo. Logika je postala osnova matematike, matematičnega razmišljanja in tudi osnova na drugih tehniških področjih. Logika je postala neodvisna matematična veda. Del logike je Boolova algebra, ki se uporablja v tehnoloških aplikacijah.

Tradicionalna logika ima dve vrednosti in se ukvarja s stavki (logičnimi spremenljivkami), ki imajo vrednosti: pravilno-napačno, logično 1 - logično 0. Sestavljeni stavki (logične funkcije) so sestavljeni iz osnovnih logičnih stavkov in logičnih konjunkcij (IN, ALI, NOT).

6.2 Viri mehke logike

Številske množice

Ni vedno nujno, da je tipični primer množice na primer niz jabolk in hrušk. V tehničnih aplikacijah, so pogosto v ospredju množice, ki so pomembni intervali na osi. V zgornjih primerih, bi lahko na primer našli več množic (intervalov) za oceno temperature vode, ki se nanašajo na temperaturo ali intenzivnost njenih vibracij. Če vrednost vhodne jezikovne spremenljivke (npr. temperatura) spada v eno od skupin (npr. večje), je resničen izraz "temperatura je zvišana". Lažje je govoriti o množicah in članstvo v njih, vendar le o neposredni verodostojnosti in resničnosti funkcij vhodnih stavkov - vhodne vrednosti.

Večvrednostna in mehka logika

Naravna posplošitev dvovrednostne logike predstavlja trivrednostna logika z vrednostmi na primer, 0 (kar pomeni, napačno), 0.5 (delno res, morda, ni znano), in 1 (resnično); obstajajo tudi druge logike z večjim številom resničnostnih nivojev. Logična spremenljivka v mehki logiki ima neskončno število vrednosti iz zaprtega intervala [0, 1]; število vrednosti je omejeno med izvajanjem programa in je odvisno od načina numerične interpolacije resničnostnih vrednosti.

Mehke množice

V teoriji mehkih množic je vsakemu elementu dodeljena stopnja pripadnosti mehki množici (pripadnostna funkcija) vrednotena na zaprtem intervalu [0, 1]. Ta funkcija se običajno označi s simbolom μ, ob kateri je v indeksu zapisano ime množice, na primer μA predstavlja članstvo elementa v mehki množici A, μB predstavlja članstvo elementa v mehki množici B itd..

Pripadanje mehki množici

Gotovo je, da element mehke množice "delno spada v množico in deloma ne spada" (glede na pripadnost med 0 in 1). Članstvo elementa v množici, se lahko štejejo kot mehko. Meja mehke množice je mehka, kar pomeni, nejasna, meglena, zabrisana. To je tudi izvor besede mehko. V nasprotju s klasičnimi množicami je pogosto v mehkih množicah, da določen element sočasno pripada dvema ali več mehkih množic z različnimi stopnjami pripadnosti. Tako je mogoče v mehki logiki uskladiti nasprotja, kot je "imam prav ali imaš prav ti" z besedami "oba imava delno prav". Podobno kot pri klasičnih množicah je sistem operacij opredeljen tudi v mehkih množicah: med osnovnimi so operacije mehkega preseka, unije in komplementa, vendar obstajajo tudi druge mehke operacije. Zato obstaja tesna povezava med operacijami v množici in logičnimi operacijami.

Sestavljeni sistemi in mehka logika

V tehničnih aplikacijah mehkih sistemov pogosto (skoraj vedno) naletimo na mešane sisteme, ki imajo vhodne spremenljivke v obliki numerične spremenljivke (jezikovne spremenljivke) in logične spremenljivke (vhodne jezikovne vrednosti). Medtem ko je v dvovrednostni logiki prehod logičnih funkcij pripadajočih pojmov oster (skokovit), so lahko v mehki logiki prehodi postopni in logične funkcije se lahko prekrivajo. Na primer, temperaturo vode 35 °C je mogoče oceniti kot delno prijetno in delno vroče, podobno, temperaturo vode 37 °C je mogoče oceniti kot delno vroče in še vedno delno prijetno.

Slika. 6.2 Možno obnašanje pojmov logičnih funkcij

Mehki sistem za diagnostiko ležajev

Na primer, pri reševanju problema diagnostike ležajev lahko posplošimo postopek opisan na koncu 5. poglavja. Namesto binarnih vrednoti bomo zdaj delali z mehkimi pojmi, ki so mehke spremenljivke in zavzemajo vrednosti iz intervala [0, 1]. Logični funkciji intenzivnosti vibracij in temperature imata lahko obliko lomljene funkcije (trapez in rampa) in se prekrivata v sosednjih pojmih.

Slika. 6.3: Možna obnašanja logičnih funkcij treh pojmov.

Slika. 6.4: : Možna obnašanje logičnih funkcij treh pogojev.

Izhodni mehki pojmi

Rezultat ocenjevanja je običajno skupina mehkih spremenljivk - izhodni pojmi, na primer v smislu OK, opozorilo1, opozorilo2, alarm, napaka. Vendar pa lahko izrazimo rezultat kot vrednost ene zvezne (številčne) funkcije – izhodna jezikovna funkcija ima pomen diagnoze okvare ležaja. Njena vrednost se lahko določi na podlagi logičnih vrednosti izhodnih pojmov. Logične funkcije omenjenih pojmov imajo lahko obliko lomljene funkcije (trapez ali trikotnik), prav tako pravokotnikov ali ozkih pulzov (singularnost).

Slika. 6.5: Možno obnašanje logičnih funkcij petih pojmov.

6.3 Mehka logika kot generalizacija binarne logike

Uvod

Bistvo poenostavitve, ki ga vpeljemo v ta modul temelji na ugotovitvi, da je mehka logika za večvrednostne spremenljivke dejansko posplošitev binarne logike. Snov bomo ilustrirali na primerih simetričnih logičnih funkcij, ki so bili uporabljeni za binarno logiko.

6.4 Pragovna in večinska funkcija binarne logike

V učbenikih za načrtovanje logičnih sistemov se večinske in pragovne funkcije uporabljajo kot nazorni primeri za prikaz procesa načrtovanja in minimizacije logičnih izrazov. Njihova logična vrednost je odvisna od števila pravih operandov in ostaja enaka za določeno število vseh kombinacij operandov - zato te sodijo med simetrične funkcije. Pragovna funkcija ("vsaj k od n" - označena kot f_k_n) je resnična, če je vsaj k (k ali več) od n operandov enako 1. Število k se imenuje prag. Večinske funkcije so poseben primer pragovnih funkcij. Definirane so liho število operandov in so resnične, če je več kot polovica (večina) operandov resnična

6.5 Logični izrazi

Za "3-manjšinske" funkcije velja m3 = f_2_3, za "5-večinske" funkcije velja m5 = f_3_5. Na splošno velja, da minimiziran logični izraz za prag k vsebuje vsoto produkta članov z dolžino k pri čemer so zajete vse kombinacije n spremenljivk temeljnega pogoja (brez negacij). Tako ima na primer:

f_3_3(a, b, c) = abc

f_2_3(a, b, c) = m3 (a, b, c) = ab + ac + bc

f_1_3(a, b, c) = a + b + c

f_4_4(a, b, c, d) = abcd

f_3_4(a, b, c, d) = abc + abd + acd + bcd

f_2_4(a, b, c, d) = ab + ac + ad + bc + bd + cd

f_1_4(a, b, c, d) = a + b + c + d

6.6 Povezava z AND in OR

Razvidno je, da sta funkciji f_3_3(a, b, c) = abc in f_4_4(a, b, c, d) = abcd enaki logičnemu produktu AND (na splošno velja za f_n_n) in da sta funkciji f_1_3(a, b, c) = a + b + c in f_1_4(a, b, c, d) = a + b + c + d enaki logični vsoti OR (na splošno velja za f_1_n).

6.7 Uporaba v varnostni tehniki

Pragovna in večinska funkcija se pogosto uporabljajo v sistemih požarnega alarmiranja, kjer se uporabljajo požarni senzorji (javljalniki požara) z binarnim izhodom. Ti se uporabljajo v redundatnem številu, zato se odločitve v zvezi s požarno ogroženostjo izvajajo kot pragovne funkcije. Tako so senzorji podprti do neke mere, rešitev pa je odporna na napake senzorja. Pojav lažnih alarmov ob ukinitvi ali nedelovanju kateregakoli od senzorjev se prav tako zmanjša.

6.8 Razlogi za mehko generalizacijo

V predhodnem primeru je bila prikazana uporaba pragovne in večinske funkcije. Sedaj predpostavimo, da je cilj zagotoviti varovanje objekta na podoben način, vendar z uporabo senzorjev, ki zagotavljajo neprekinjene izhodne vrednosti, na primer v območju od 0 V do 10 V, tako da vrednost nič ustreza varnem stanju (tveganje požara je nič) in vrednost 10 ustreza absolutni gotovosti požara (nevarnost požara je ena).

6.9 Postopek mehke generalizacije

Možna je rešitev z uporabo mehke logike. Binarne logične spremenljivke se nadomesti z mehkimi spremenljivkami, ki lahko zavzemajo vse vrednosti med nič in ena, in resnčnost ustreza stopnji požarne ogroženosti. Poleg tega bo treba uvesti takšne logične operacije, ki generalizira osnovne logične operatorje AND, OR in NOT. Vsak senzor ustreza eni mehki spremenljivki. Prireditev logične vrednosti glede na vrednost napetosti sprejetega signala s senzorja (najpreprostejši primer mehčanja) je odvisna od naše presoje - lahko je le linearno normalizacija območja, ali linearna odvisnost v aktivnem območju z omejitvijo na obeh mejah območju ali splošna nelinearna odvisnost.

Slika. 6.6: Možna obnašanja logične funkcije za zvezni požarni senzo

6.10 Generalizacija logičnih izrazov

Za oceno alarmnih nivojev lahko uporabimo enake logične izraze kot v poglavju 5, samo da jih generaliziramo za mehko logiko. Ti so formalno enaki operatorjem Boolove algebre, le da so zamenjani z generaliziranimi operaterji mehke logike.

6.11 Mehka generalizacija AND, OR, NOT

Obstaja neskončno načinov za generalizacijo logičnih operatorjev AND, OR, in NOT za več vrednotno logiko in mehke logiko (mehka generalizacija je primeren večvrednostne logike). Glede na kombinacije mejnih vrednosti v intervalih (Boolove vrednosti 0 1) se vsi generalizirani operatorji vedejo kot Boolovi operaterji AND, OR, in NOT. Logičnim vrednostim v intervalih [0, 1] se dodeli "določena" logična vrednost zopet znotraj intervala [0, 1]. Enostavno rečeno, generalizirani operatorji izvajajo interpolacijo med Boolovo vrednostjo 0 in 1. Stvar razprave je, kateri operatorji so bolj primerni za določen namen in kako zagotoviti boljši (lažji ali manj zapleten) postopek interpolacije. Nobena od opisanih operatorjev ni neprimeren (oziroma je lahko primeren). Včasih se uporabljajo tudi drugi simboli (npr. ANF, ORF in NOF) za njihovo razlikovanje od Boolovih operatorjev, vendar bodo tu uporabljene tradicionalne oznake, ki jih uporablja tudi standard IEC 61131-7, kjer je tip operatorja označen z indeksom.

6.12 Mehka generalizacija negacije - mehki NO

Kot generalizacija mehke negacije se najpogosteje uporablja eniški komplement (v aplikacijah skoraj izključno)

NOT a = 1 – a

Omenimo še druge načine, na primer Sugenov razred komplementa

NOTλ a = (1 - a)/(1 - λa) za parameter λ na intervalu (-1, ∞)

ali Yager razred negacij

NOTw a = (1 - aw)1/w

6.13 Mehka generalizacija AND in OR

Kot generalizacija logičnega produkta AND in logične vsote OR so najpogosteje uporabljene operacije minimum in maksimum (Zadehove ali Gödelove operacije).

ANDm(a, b) = min(a, b)

ORm(a, b) = max(a, b),

verjetnostne operacije (algebraične Goguenove operacije)

ANDa(a, b) = ab

ORa(a, b) = a + b – ab

in Łukasiewicz operacije (Gilesove operacije, omejena razlika and vsota – Sl. 8.4)

ANDb(a, b) = max(0, a + b - 1) ... izraz a + b – 1 je omejen navzdol z 0

ORb(a, b) = min(a + b, 1) ... izraz a + b je omejen navzgor z 1.

Obnašanje funkcij generaliziranih operatorjev dveh spremenljivk običajno predstavljamo kot tridimenzionalni diagram. To lahko razumemo kot generalizirane logične mape (K-mape) upodobljene v prostoru, kjer vogali spodnega kvadrata predstavljajo mejne vrednosti operandov 0 in 1 tradicionalnih Boolovih operatorjev.

Slika. 6.7: Logični graf dveh operatorjev

Fig. 6.8: Demonstracije nepodobnosti med minimizacijskimi izrazi

Fig. 6.9: : Demonstracije nepodobnosti med minimizacijskimi funkcijami

PRIMER

Primer 6.1

Poglejmo nazoren primer z logičnimi vrednostmi operandov a = 0,3 in b = 0,8. To velja tudi za operacije minimum in maksimum:

a ANDm b = 0.3 (manjši od dva), a ORm b = 0.8 (večji od dva)

za verjetnostne operacije:

a ANDa b = 0.3 * 0.8 = 0.24    a ORa b = 0.3 + 0.8 – 0.24 = 0,86

in za Łukasiewiczeve operacije:

a ANDb b = max (0, 0.3 + 0.8 – 1) = večje od (0 in 0.1) = 0.1

a ORb b = min (0.3 + 0.8, 1) = manjše od (1.1 and 1) = 1

Razvidno je, da veljajo naslednje neenakosti za rezultate generaliziranih logičnih operatorjev (v splošnem, ne le za zgoraj navedene primere):

ANDb < ANDa < ANDm

ORm < ORa < Orb

6.14 Zadostnost minimuma in maksimuma

Predvidoma najpogosteje uporabljeni operaciji sta minimum in maksimum. Njuno računanje ni zahtevno in imata dodatne prednosti. Večina pravil Boolove algebre ju izpolnjuje (vsa pravila, razen pravila izključevanja tretjega) in običajno sta potrjeni z našim intuitivnim razumevanjem logičnih vprašanj.

6.15 Mehki diagnostični sistem – primer

Predpostavimo, da je potrebno za izvedbo programa za diagnostiko ležajev ocena izmerjenih podatkov o temperaturi in vibracijah. Zamislimo si enako nalogo in z istimi pravili (logičnimi izrazi) kot v primeru z binarno logiko, samo z generalizacijo za mehko logiko.

6.16 Določitev vhodnih izrazov – mehčanje

Upoštevali bomo, da imajo logične funkcije vhodnih spremenljivk za intenzivnosti vibracij in temperaturo obliko frakcijskih funkcij (trapezi in rampe). Določitev logičnih vrednosti vhodnih spremenljivk na osnovi vrednosti intenzitete vibracij in temperature se imenuje mehčanje..

6.17 Inferenca – sklepanje

V primeru smo ponovno izbrali pet diagnostičnih nivojev, od katerih vsak predstavlja ločeno mehko logično spremenljivko – izhodne jezikovne vrednosti: OK, opozorilo1, opozorilo 2, alarm, napaka. Njihove logične vrednosti lahko ocenimo z uporabo skupine logičnih izrazov (določitev ukazov), ki so generalizirani za mehko logiko. Da bi lahko uporabljali pogojne ukaze IF – THEN, potem moramo delati z generalizacijo implikacijske funkcije in iz tega izhajajočih pravil. Zaradi tega teh ne bomo uporabljali v tem dokumentu.

OK := v_majhne & normalna;

opozorilo1 := v_majhne & povišana OR v_povečane & normalna;

opozorilo2 := v_majhne & pregrevanje OR v_povečane & povišana OR v_visoke & normalna;

alarm := v_povečane & pregrevanje OR v_visoke & povišana;

odpoved := v_visoke & pregrevanje;

Za boljšo preglednost lahko zapišemo pravila v matrični obliki.

Slika. 6.10: Razporeditev pravil v matriki.

6.18 Vrednotenje rezultata v obliki ene vrednosti – ostrenje

Po vrednotenju izrazov lahko pride do primerov, ko je več izhodnih izrazov (do štiri) hkrati pozitivnih, tako da je rezultat precej zapleten in večvrednostni. Zato je smotrno pretvoriti kombinacijo izhodnih izrazov v vrednost ene spremenljivke, ki obsega celotno informacijo o rezultatu diagnoze, na primer s pomenom nevarnost_odpovedi ali diagnoza. Ta operacija je nasprotni problem mehčanja, zato se imenuje ostrenje. Pet izhodnih izrazov se lahko s tem razloži kot skupina logičnih funkcij nad izhodnim jezikom spremenljive diagnoze.

6.19 Ostrenje

Z nizom pravil smo na splošno pridobiti več logičnih izhodnih spremenljivk (izhodni izrazi), katerih resničnost je večja od nič. Vsak logičen zaključek ima drugačno resničnost kot je običajno v mehki logiki, vendar je ista situacija v sklepih mnogih strokovnjakov, ki so svetovali pri istem problemu. Z nizom večvrednostnih (včasih tudi nasprotujočih) rezultatov je težko delati. To je razlog, zakaj je potrebno pridobiti edinstven rezultat - eno samo konkretno vrednost za vsako izhodno jezikovno spremenljivko, npr "diagnoza" o stanju ležaja ("nevarnost zastoja ležaja je 38"), ali vrednost ukrepanja določenega mehkega regulatorja ("obrniti pri omejitvi 27%", "napetost pogona = 5,6 V", "ventil rahlo odpreti z impulzom v trajanju 3,8 s "). Postopek, s katerim naredimo edinstven (oster) rezultat iz nabora večvalentnih mehkih logičnih zaključkov, se imenuje ostrenje.

6.20 Izhodni izrazi

Ostrenje lahko razumemo kot nasprotje mehčanju. Definiramo potek logičnih funkcij za posamezne izraze glede na izhodne jezikovne spremenljivke (npr. v smislu tveganje odpovedi ležaja, vzbujalna napetost, regulacija zastoja ali deformacije ventila, čas trajanja vzbujanja). Ti pogoji bi lahko imeli podobno obliko in premik kot pri definiciji vhodnih izrazov – uporaba trikotnikov, trapezov ali gladkih krivulj.

6.21 Proces ostrenja brez implikacije

V literaturi je proces ostrenja običajno opisan z implikacijskimi funkcijami (z nekaterimi od številnih možnosti mehke generalizacije). Razlaga je zapletena in v praksi se uporabljajo le zelo poenostavljene variante. V tem besedilu bomo opisali samo izvedbe brez teoretičnih razlag.

6.22 OR vmesni podatki - združena območja

Opisali bomo operacijo za vsak izraz (dovolj je za izraze z ne nično resničnostjo) in delne rezultate za vsak logični izraz. Logično vsoto OR interpretiramo kot funkcijo maksimum. Ta proces je mogoče grafično razložiti kot združitev slik v "deformiranih" izrazov logičnih funkcij ("obrezovanje" ali "stiskanje").

Slika. 6.11: Potek logičnega resničnostnega produkta AND. A – resničnost; B - pogojna resničnost; C – izhodni izraz; T1 - izraz 1; T2 - izraz 2; T3 – izraz 3; D - mehki rezultirajoči niz; E - izhodna jezikovna spremenljivka; F – rezultirajoča množica; P1 - pogoj 1; P2 - pogoj 2; P3 - pogoj 3

6.23 Metoda centroida – CoG

Za končno oceno je mogoče uporabiti več metod. Če bomo uporabili metodo centroida CoG (masno središče) izračunamo centroid združenega območja. Rezultat je njegova os v vodoravni smeri.

6.24 Metoda bisekcije – CoA

Če bomo uporabili metodo bisekcije CoA (središče območja) je rezultat os vertikalnega dela, ki je razdeli končno območje v dva enaka dela.

6.25 Metoda maksimuma - LM, RM

Pri uporabi leve metode maksimuma LM (maksimum levo) je rezultat stanje, ki je največje v levem maksimumu. Pri uporabi desne metode maksimuma RM (maksimum desno) je rezultat stanje, ki je največje v desnem maksimumu. Če maksimum ni "zelo oster ", ampak "ploščat" (horizontalno), potem je mogoče uporabiti srednjo metodo maksimuma, kjer je rezultat srednja vrednost. Včasih ni dobro določiti rezultat kot povprečne vrednosti dveh ali več izrazitih maksimumov. V tem primeru je potrebno uporabiti drugo metodo.

6.26 Metoda centroida enojčkov – CoGS

Metoda centroida enojčkov CoGS (masno središče za enojčke) se pogosto uporablja zaradi enostavnega računanja. Rezultat je horizontalna os težišča enojčkov. Enojčki so omejeni v resničnostnih vrednostih, ki ustrezajo izhodnim izrazom (vsak "očiten steber" je skrajšan). Izračunana je komponenta horizontalne osi. Za to os se uporablja preprost odnos, ki ima podobnost v mehaniki v ravnotežju dvoročnega dela:

Kje je xtez končna vrednost – centroidna os enojčkov v smeri vodoravne osi (v smeri roke), xi so stanja posameznih enojčkov in yi so vrednoti, ki ustrezajo izhodni resničnosti ("visoki deleži ").

6.27 Analogija s povprečno uteženostjo

Iz drugega lahko razumemo centroid enojčkov kot izračun standardnega srednja uteženega povprečja, kjer so stanja vrednosti enojčkov vsote (xi) nato pa jih množimo z ustreznimi verjetnostmi (yi) (utežnostni koeficienti) in rezultat je normiran z uteženo vsoto koeficientov ∑ yi (vsota vseh izhodnih resničnosti). Predpostavka je, da vsota ni nič. Metodi centroida in bisekcije celotnega območja sta generalizacija uteženega povprečja.

6.28 Mehki sistem Mamdan

Do sedaj omenjena primera si nista podobna, vendar imata skupne značilnosti in podoben način programske izvedbe različnih vrst mehkih sistemov. Razlikujeta se v dveh točkah:

- mehčanje - v tej fazi je številčna vrednost vhodne spremenljivke pretvorjena v logične vrednosti ene ali več vhodnih mehkih spremenljivk - vhodne mehke spremenljivke,

- vrednotenje logičnih vrednosti, sklepanje (logično), inferenca - skupina pravil ali logičnih izrazov, ki opisujejo logične odnose med vhodnimi in izhodnimi spremenljivkami,

- ostrenje – obratni postopek mehčanja - logičnim vrednostim skupine izhodnih jezikovnih spremenljivk je dodeljena enotna (ostra) izhodna vrednost.

Podoben proces se ponovi ne glede na to, ali se mehki sistem uporablja v vodenju, odločanju ali kot optimizacijski algoritem, regulator, parametrizator regulatorja, diagnostični ali nadzorni sistem, model, ekspertni sistem in podobno.Opisani sistem se včasih označuje kot sistem Mamdani ali avtomat Mandani.

Slika. 6.12: Shema tipičnega procesa implementacije sistema Mandani.

6.29 Nastavljanje (uglaševanje) mehkega sistema - tuning

Zaradi kompleksnosti mehkega sistema praviloma sistem ne bo deloval takoj po programiranju. Potrebna je faza uglaševanja. Pri tem ni smotrno, da bi spreminjali vse parametre, ki lahko vplivajo na obnašanje sistema in s tem njegove prenosne karakteristike. Običajno nastavljamo "samo" oblike in pozicije logičnih funkcij vhodnih in izhodnih spremenljivk, ostale parametre so konstantni (če niso očitno narobe izbrani).

Problem je zahteven in dolgotrajen. Da to ni samo naključno "tavanje v temi", je koristno vedeti, kako se odziva prenosna karakteristika na posamezna vzbujanja.

6.30 Opis sistema

Proces bomo ponazorili s preprostimi primeri mehkega Mamdani sistema z eno in dvema vhodnih jezikovnih spremenljivk in eno izhodno jezikovno spremenljivko. Vsaka jezikovna spremenljivka je opredeljena z 7-mi izrazi. Pet vhodnih izrazov ima obliko trikotnika, nadaljnja dva imata enako obliko upadanja in naraščanja z rampo. Izhodni izrazi imajo obliko ozkih pravokotnikov, ki posnemajo enojčke. Jedro logičnega sistema tvori skupina preprostih pravil, ki transformirajo vhodne resničnosti na izhod. Za izračun logičnega produkta AND je uporabljena funkcija minimuma in za logično vsoto OR funkcija maksimuma. Ostrenje je izvedeno z metodo centroida enojčkov. Za realizacijo je uporabljen računalniški sistem MATLAB.

6.31 Enotna postavitev vseh izrazov

Najprej bomo pokazali primer, ko so vhodni in izhodni izrazi tudi enotno postavljeni. Pri sistemu z eno dimenzijo je razvidno, da je prenosna karakteristika v osredju premočrtno linearna s skoraj premočrtno in prehaja na obeh koncih v vodoravni odsek nasičenja zaradi robnega učinka. Mehki sistem je mogoče obravnavati kot linearni z nelinearno zasičenosti - kar je značilno za večino realnih sistemov.

Oblika karakteristike za dvodimenzionalni sistem kaže v srednjem delu nagnjeno ravnino, samo na meji so izrazite nelinearnosti v obliki zasičenosti.

Slika. 6.13: Možno obnašanje logičnih funkcij za zvezni požarni senzor

Slika. 6.14: Enakomerno porazdeljeni izhodni izrazi

Slika. 6.15: Prenosna karakteristika za enodimenzionalni sistem

Slika. 6.16: Prenosna karakteristika za dvodimenzionalno sistem

6.32 Zgoščeni vhodni pogoji

Kot primer bomo prikazali sistem z mehko logiko, katerega izhodni pogoji so razporejeni bolj v sredini kot na mejah. Izhodni pogoji so enakomerno porazdeljeni. Prenosna karakteristika ima obliko črke „s“ in ima v sredini veliko večjo strmino kot na robovih. Podobno kot velja za dvodimenzionalne sisteme je področje prenosne karakteristike v sredini veliko bolj strmo kot na robovih.

Slika. 6.17: Sredinsko zgoščeni vhodni pogoji

Slika. 6.18: Prenosna karakteristika enodimenzionalnega sistema

Slika. 6.19: Prenosna karakteristika dvo dimenzionalnega sistema

6.33 Razredčeni vhodni pogoji

Kot primer bomo prikazali sistem z mehko logiko, katerega vhodni pogoji so redkeje razporejeni na sredini kot na robovih (koncentracija se povečuje proti robovom). Izhodni pogoji ostajajo enakomerno porazdeljeni. Prenosna karakteristika je na sredini manj strma kot na robovih. Blizu robov obstaja še ena ukrivljenost, ki pa je posledica robnega učinka. Podobno kot pri dvodimenzionalnem sistemu ima prenosna karakteristika v sredini manjši naklon kot na robovih.

Fig. 6.20: Razredčeni vhodni pogoji v sredini

Fig. 6.21: Prenosna karakteristika enodimenzionalnega sistema

Fig. 6.22: Prenosna karakteristika dvodimenzionalnega sistema

6.34 Zgoščeni izhodni pogoji

Manipulacija z izhodnimi pogoji (enoznačnimi) ima obratni vpliv na obliko prenosne karakteristike kot manipulacija z vhodnimi pogoji. Zgoščevanje izhodnih pogojev proti sredini ima za posledico ožjo prenosno karakteristiko medtem ko redčenje izhodnih pogojev v sredini poveča strmino prenosne karakteristike v srednjem delu. Pojav lahko ilustriramo v realnosti le z enodimenzionalnimi sistemi.

Fig. 6.23: Zgoščeni izhodni pogoji z sredini

Fig. 6.24: Prenosna karakterisika enodimenzionalnega sistema

6.35 Razredčeni izhodni pogoji

Na obliko prenosne karakteristike (posebej strmino v srednjem delu) je možno vplivati s spremembo porazdelitve vhodnih pogojev. V določenih primerih je možna manipolacija z vhodnimi pogoji. Vendar je uporabno le zgoščevanje vhodnih pogojev v povezavi z redčenjem izhodnih pogojev v sredini, če želimo, da se poveča strmina prenosne karakteristike. V obratni smeri, torej redčenje izhodnih pogojev v povezavi z zgoščevanjem vhodnih pogojev v sredini, povzroči zmanjšanje strmina prenosne karakteristike v srednjem delu. Hkratno zgoščevanje ali redčenje pogojev v srednjem delu območja je nesmiselno, saj se učinki med seboj izničijo.

Fig. 6.25: Redčenje izhodnih pogojev v sredini

Fig. 6.26: Prenosna karakteristika enodimenzionalnega sistema

6.36 Povzetek poglavja

POVZETEK

To poglavje je razmeroma obsežno. Na začetku je splošen pregled AND, OR in NOT nabora. Sledi opis vzpostavitve sistema diagnostike od mehčanja preko vzpostavitve sklepanja do razmehčanja. Prikazane bodo posamezne metode razmehčanja in naštete njihove prednosti in slabosti. Posamezni primeri bodo demonstrirani tudi preko primerov v programskem paketu Matlab. Predstavljen bo tudi kratek opis Matlab Fuzzy orodni paket. Prav tako bodo opisami Mamdani Fuzzy sistem in Sugeno-Takagi sistem. Zelo pomemben del poglavja predstavlja nastavitev sistema na osnovi mehke logike, saj je to ena od zahtevnejših operacij v praksi. Na koncu sledi opis vhodnih in izhodnih pogojev v vseh oblikah. At the close are defined inputs and outputs terms in all forms. Poglavje je sestavljeno tako, da sledi postopku načrtovanja sistemov na osnovi mehke logike v praksi.

7 Nevronske mreže

7.1 Uvod

Nevroni so osnovni elementi živčnega sistema. To so žive celice, katerih osnovne naloge so zbiranje, shranjevanje, obdelava in oddajanje informacij. Poznamo več tipov nevronov. za vse tipe pa velja naslednja osnovna sestava: telo (soma), ki prejema informacije preko vhodnih vej (dendrites) – en nevron ima približno desettisoč vhodnih vej – te prenašajo informacije enega izhoda (axon), ki ima na koncu več vej. Izhodni signal axona je odvisen od vhoda, ki je obdelan v nevronu. Torej, izhod iz nevrona je odvisen od vhoda. Premer telesa nevrona se spreminja in znaša od nekaj μm do nekaj deset μm. Vhodne veje so dolge med dva in tri mm. Na drugi strani pa je axon lahko dolg tudi čez en meter.

Da lahko opravljajo svoje funkcije, morajo biti nevroni v možganih povezani v nevronsko mrežo. Povezovanje med nevroni se izvede z vhodnimi vejami. Preko posebnih projekcij (sinapse) se povežejo vhodne veje enega nevrona na vhodne veje ali kar direktno na telo frugega nevrona. V posebnih primerih pa se povežejo kar na axone. Inteligentno obnašanje možganov (ali splošno nevronskih mrež) je možno je z popolno medsebojno povezavo nevronov. Nevroni nevronske mreže možganov so urejeni tako, da okvara enega nevrona ne more ogroziti delovanja celotne strukture (zaradi kombinacije topološke strukture in zmožnosti paralelne obdelave).

Fig. 7.1: Živi nevron

7.2 Principi

Nevron je osnovni element vsake nevronske mreže. Njegova naloga je obdelava podatkov po izbrani metodi.

Fig. 7.2: Nevron

Glede na vrsto vhodnih podatkov se lahko nevroni ločijo na binarne in zvezne (obdelujejo informacije z več vrednostmi). Izraz »zvezni« predstavlja način obdelave signalov, saj so v večini primerov nevroni in nevronske mreže simulirane na računalniku. Od originalne strojne izvedbe se samo še optična implementacija ohranja kot pomembna.

Pomemben podatek na področju nevronskih mrež predstavlja prenosna funkcija, včasih imenovana tudi aktivacijska funkcija. Ta funkcija pretvori notranji potencial nevtrona v območje izhodnih vrednosti. Najpomembnejše funkcije so predstavljene na slikah.

Fig. 7.3: Linearna prenosna funkcija

Fig. 7.4: Sigma prenosna funkcija

Fig. 7.5: Omejena funkcija

Nevronske mreže delujejo v dveh fazah – faza učenja (adaptacija) in aktivna faza (relaksacija).

Med učenjem se nevronska mreža spreminja v strukturo, ki bo prilagojena za reševanje danega problema. Učenje je realizirano tako, da se postavljajo uteži med vozlišči. V praksi je to izvedeno z dodelitvijo začetne vrednosti, bodisi naključno ali glede na izkušnje oziroma glede na znanje iz podobnih, prej rešenih problemov. Temu sledi predstavitev vhodnega učenja.

Nadalje je učenje razdeljeno na nadzorovano in nenadzorovano.

Med nadzorovanim učenjem se nevronska mreža uči s primerjanjem dejanske vrednosti na vhodu z zahtevanim izhodom tako, da se uteži prilagaja na najboljši rezultat. Manjšanje razlike je nadzorovano z učnim algoritmom.

Na drugi strani nenadzorovano učenje nima postavljenih meril. Učni proces se izvaja tako, da algoritem išče med vhodnimi podatki vzorce s podobnimi lastnostmi. Tak način učenja se včasih imenuje samo urejevalni način.

Med aktivno fazo se pojavi stanje neravnovesja v izhodni plasti glede na vhodne podatke. Vrednosti, shranjene v nevronih se spreminjajo zaradi delovanje drugih nevronov, dokler se zopet ne vzpostavi stanje ravnovesja.

7.3 Umetne nevronske mreže

Že samo en nevtron lahko izvaja precej zapletene (splošno nelinearne) funkcije. Običajno to imenujemo percepcija, v to uvrščamo npr. obdelava vhodnih podatkov, razpoznavanje napak, razpoznavanje znaka v tekstu ali enostavnih elementov slike itd. Bolj zapletene funkcije pa lahko izvajajo nevronske mreže. Ponavadi so povezane v plasti – vhodna plast, izhodna plast in ena ali več skritih plasti. V neregresivnih mrežah (feedforward) pretok signala poteka od vhodne plasti proti izhodni plasti. Obstajajo pa tudi nevronske mreže, v katerih pretok signala lahko poteka tudi v nasprotni smeri, take mreže imenujemo regresivne (recurrent, Hopfieldove mreže).

Nevronske mreže se pogosto uporabljajo za razvrščanje dogodkov in njihovo sortiranje v skupine, obdelavo slik in prepoznavanje, za nekatere kognitivne procese (npr. diagnostika), izdelavi modelov, napovedovanju in ocenjevanju. Splošno so nevronske mreže primerne za reševanje problemov, katerih načela so slabo poznana ali nasploh neznana ali pa jih ne znamo dovolj dobro opisati. Nevronska mreža se lahko uporabi kot ragulator ali model, ki se prilagaja preko učnega mehanizma mreže. Uporabne so tudi za učenje vzorcev (pri nadzorovanju operacij v različnih situacijah). V večini primerov naučena mreža deluje na ustrezen način, načela problema pa ne more razkriti. Lahko pa se zgodi, da v določenih situacijah reševanje problema ne uspe.

Proces učenja umetne nevronske mreže je precej zapleten. Uporabljajo se tudi druge metode, ko t je genetski algoritem.

Implementacija programa za nevronske mreže je dokaj enostavna. To je skupek produktov in dokaj enostavnih nelinearnih funkcij. Možno jo je implementirati tudi na PLC sistemih. Veliko bolj zahtevno opravilo je učenje nevronske mreže, ne samo iz vidika numerične kompleksnosti učnega algoritma, ampak tudi iz vidika izkušenosti in usposobljenosti načrtovalca. Zato so velikokrat v uporabi vnaprej programirani in testirani sistemi, ki jih uporabljamo kot specialna orodja za programiranje (npr. Matlab, Mathematica…) ali kot specialna orodja za implementacijo nevronskih mrež in učnih algoritmov.

Fig. 7.6: Nevronska mreža za kompresijo podatkov

7.4 Perceptron

Najprej bomo uvedli najpreprostejši model, sestavljen iz enega nevrona, običajno imenovanega perceptron. Obstaja n povezav, ki vodijo do nevronov in predstavljajo bodisi izhode drugih nevronov ali pa dražljaje iz okolice. Vsak od vhodov nosi trenutno informacijo xi v obliki realnega števila. Števila predstavljajo vrednosti določenih atributov, če predpostavimo, da so informacije iz zunenjega sveta. Celoten vektor x = [x_1‚ ..., xn] karakterizira določen predmet študije. Atributi lahko predstavljajo različne podatke iz okolja, kot so temperatura, tlak, barva, logično stanje itd.

Fig. 7.7: Shema nevrona z utežmi posamezne povezave

Vsaka povezava v nevronu je karakterizirana z nekim realnim številom, ki predstavlja tako imenovano sinaptično utež (pomembnost) te povezave. Za vsak nevron je značilen prag θ. Seštevek uteži ξ = ∑ wi xi – υ (i= 1, ...‚ n) predstavlja skupni dražljaj, tako imenovan nevronski potencial. Nevron se odzove na ta potencial z izhodnim odzivom z = S(ξ), kjer je S vnaprej določena nelinearna prenosna funkcija, običajno v obliki sigmoida (enakomerno naraščajoča med dvema asimptotičnima vrednostima).

Mreže z več nevroni lahko razvrstimo glede na različne vidike, od katerhih bomo izpostavili dva. Prvi se nanaša na topologijo nevronske mreže, drugi pa na način delovanja. Glede na topologijo nevronske mreže ločimo rekurzivne mreže (izhodi nekaterih nevronov pošilja dražljaje po mreži nazaj) in ostale mreže. Najpomembnejše topologije so večplastne, kjer so nevroni razdeljeni v posamezne plasti. Izhodi nevronov iz ene plasti so vhodi vseh nevronov naslednje – višje plasti. Druge povezave med nevroni v takšni strukturi ni.

ZANIMIVO

Paradigma perceptrona

Perceptron je izumil F. Rosenblatt leta 1958. Navdihnil ga je model človeškega očesa in zato je poskušal razviti svoj model. Izhajal je iz dejstva, da je mrežnica sestavljena iz svetlobno občutljivih senzorjev, ki so urejeni v matrico. Njihovi izhodi vodijo v posebne celice, tako imenovane servisne celice, genetsko vnaprej oblikovane tako, da prepoznavajo določene vzorce. Izhodi teh celic so povezani s celicami, ki imajo pragovni način delovanja, tako da je aktivnost njihovega izhoda odvisna od določenega nivoja vhodnega dražljaja.

Fig. 7.8: Prepoznavanje s perceptronom

Mreža perceptronov je triplastna, glede na njihove fiziološke modele. Vhodna plast deluje kot kompenzacijska ali vejitvena. Njena vloga je pretvorba dvodimenzionalnega polja senzorjev v enodimenzionalni vektor procesnih elementov. Druga plast je zgrajena iz detektorjev dražljajev. Vsak od njih je naključno povezan z elementi prve plasti. Uteži, ki so dodeljene vhodom so konstante. Naloga servisnih celic je zaznavanje specifičnih dražljajev. Zadnjo, tretjo plast sestavljajo elementi za prepoznavanje vzorcev (percertroni). Glede na to, da so uteži prve in druge plasti fiksne, se lahko uteži tretje plasti nastavljajo z učenjem. Za učenje mreže perceptronov je predlagal Rosenblatt posebni algoritem za učenje perceptronov.

Elementi se razlikujejo glede na plasti. Nevroni imajo en pragovni vhod (treshold), določen za konstanto 1. Ostali vhodi so naključno povezani na izhode servisnih celic srednjega sloja in njihove uteži se lahko nastavljajo. Prenosna karakteristika procesnih elementov plasti perceptronov je naslednja: izhod je enak nič, če je vsota uteži vseh njegovih vhodov nič ali negativna. Če ne, potem je izhod enak ena. Včasih uporabljamo tudi druge prenosne karakterisike. Za te primere velje, če je vsota uteži vseh vhodov nič ali negativna, je izhod enak -1, sicer je izhod +1.

Uteži so nastavljene naključno. Če je izhod pravilen, potem se uteži ne spreminjajo. Če pa je izhod 0, moral pa bi biti 1, potem se uteži na vseh aktivnih vhodih povečajo. Nasprotno, če je izhod 1, moral pa bi biti 0, potem se uteži na vseh vhodih zmanjšajo.

Vhodi so aktivni, če so njihove vrednosti >0. Vrednost uteži se spremeni v odvisnosti od izbrane možnosti:

- Fiksno povečanje ali zmanjševanje se vedno uporablja.

- Povečanje (zmanjševanje) se spreminja glede na velikost napake. Prednost je, da lahko ob pojavu večje napake spreminjamo stopnjo povečanja. Vendar pa lahko to privede do nestabilnosti v učenju.

- Fiksno in variabilno povečanje (zmanjševanje) predstavlja kombinacijo glede na velikost napake.

Poleg klasičnih perceptronov, ki so bili pravkar opisani, obstaja še nekaj drugih tipov perceptronov: Minsky in Papert (MP-perceptron) in Adaline (ali Madaline) od Widrow-a.

7.5 Algoritem širjenja nazaj

Eden izmed najbolj razširjenih ajgoritmov za učenje nevronskih mrež je algoritem širjenja nazaj. Po dvajsetih letih relativne stagnacije razvoja nevronskih mrež je ta algoritem povzročil nov val v razvoju tega znanstvenega področja.

Algoritem je primeren za učenje večplastnih nerekurzivnih nevronskih mrež. Učenje spada v skupino nadzorovanih. Predstavlja ponavljajoči algoritem računanja. Energijska funkcija je minimizirana glede na gradient, zato algoritem včasih imenujemo tudi gradientna metoda učenja.

Princip algoritma širjenja nazaj je podoben, kot splošna učna metoda, uporabljena v sistemu izobraževanja. Če študent najde pomanjkljivost v šolskem delu, se mora učiti še več. Podobno deluje algoritem širjenja nazaj. Nevronska mreža je sedaj predstavljena kot študent, testiranje pa preverja, ali so odgovori nevronske mreže na vhodne vektorje v skladu z naborom učnega gradiva. Torej, učno gradivo je šolsko delo, ki se ga mora študent naučiti. Če ugotovimo, da se nevronska mreža ne odziva pravilno, moramo spremeniti težo njenih koeficientov, dokler se ne začne odzivati pravilno.

Fig. 7.9: Grafična predstavitev učenja nevronske mreže

Algoritem širjenja nazaj je ponavljajoč proces, pri čemer izhajamo iz začetnega stanja celotnega znanja.

Izbira uteži iz učnega nabora ni nujno, da je zaporedna. Velikokrat uporabimo npr. naključni vrstni red. Strategija izbite ni striktno določena in jo uvrščamo v kategorijo »umetnost učenja nevronskih mrež«. V procesu učenja lahko izvedemo nekaj vzorcev bolj pogosto, drugih pa manj… Primerna strategija lahko bistveno vpliva na hitrost in uspešnost učenja. Globalna napaka v algoritmu je lahko predstavljena kot srednji kvadratični pogrešek, izračunan po vseh vzorcih v učnem naboru. Ta napaka predstavlja stopnjo znanja mreže. Merilo je meja, kjer se proces učenja ustavi. Algoritem širjenja nazaj temelji na minimizaciji energije nevronske mreže. Energija predstavlja stopnjo znanja, to je odstopanje med dejanskimi in zahtevanimi vrednostmi izhodov nevronske mreže v danem učnem naboru. Je v bistvu enaka kot globalna napaka, vendar se za izračun globalne napake uporablja statistična merila.

Za nevronsko mrežo z algoritmom širjenja nazaj je energijska funkcija definirana z izrazom:

Kjer je d število vhodov, yi je i-ti izhod in di je zahtevani vhod. Ta funkcija ni druga kot vsota kvadratov odklonov. Učni algoritem širjenja nazaj štejemo kot optimizacijsko metodo, ki je sposobna najti pravilne uteži in nivojske pragove za dano nevronsko mrežo.

7.6 Hopfieldova mreža

V začetku osemdesetih let prejšnjega stoletja je J. Hopfield razvil nov model nevronske mreže na osnovi študije samo-asociativnih mrež. Med raziskovanjem je razvil energijsko funkcijo, ki ima velik vpliv na pravilno delovanje mreže. Iz omenjene funkcije izhajajo tudi pravila učenja in relaksacije nevronske mreže. Hopfield je ilustriral uporabo te mreže na več fizikalnih modelih. Danes obstaja že več modifikacij te nevronske mreže. Hopfieldove mreže se lahko uporabljajo kot asociativni pomnilnik, razvščevalnik in kot optimizator reševanja problemov. Obnašanje mreže se lahko nazorno prikaže na vzorcih slike, saj se binarne vrednosti zlahka pretvorijo v slikovne točke. Hopfieldove mreže niso primerne za zvezne vhode, saj pretvorba zveznih signalov v binarne predstavlja velik problem.

7.7 ART mreža

Ena od težav, ki omejuje uporabo nevronskih mrež, je problem, ki se imenuje »problem spremenljive stabilnosti«. Mreža se ni sposobna učiti novih informacij, ne da bi pri tem poškodovala že shranjene podatke. Do tega pojava pride v več plastnih mrežah perceptronov. Ko izvajamo učenje mreže za nov vzorec, lahko pride do razpada oziroma drugače povedano, vse prej shranjene informacije se izgubijo. Do tega pa pride zaradi spremembe uteži nevronske mreže. Da naučimo nevronsko mrežo novih informacij, moramo pogosto začeti z učenjem od začetka, kar pa lahko predstavlja precejšen časovni zalogaj, ki se lahko šteje v urah ali celo dnevih. Mrežo, ki jo bomo sedaj opisali, se spopada s problemom spremenljive stabilnost precej uspešno. Mreža je razvil matematik in biolog S. Grossberg. Imenuje se adaptivna teorija resonance (Adaptive Resonance Theory – ART) in je bila razvita za modeliranje velikih paralelnih arhitektur za samoučeče mreže za prepoznavanje vzorcev. Lastnost ART mreže jezmožnost preklapljanja med stanjem pozornosti in stabilnim stanjem brez da bi prišlo do poškodbe shranjenih podatkov. Stanje pozornosti je način učenja, med katerim se začetni parametri lahko spreminjajo. Stabilno stanje pa je način nespremenljivosti mreže, ki se obnaša kot zaključen klasifikator.

Upoštevati je potrebno, da obstajajo ART mreže v treh osnovnih modifikacijah: ART-l, ART-2 in ART-3). Razlike med posameznimi modifikacijami so naslednje: ART-1 in ART-2 ne znata delati z binarnimi vrednostmi, ampak z realnimi; ART-3 ima podobno strukturo kot ART-2, vendar je model te mreže opisan z enačbami, ki izražajo dinamiko kemičnih nosilcev podatkov. Ta modifikacija predvideva nenehno spreminjanje vhodov v mrežo.

Fig. 7.10: Arhitektura ART mreže

7.8 Aplikacije nevronskih mrež

Nevronske mreže se uporabljajo predvsem tam, kjer klasični računalniki odpovejo. Problemi, ki jih nevronske mreže rešujejo, nimajo znanega algoritma ali analitičnega opisa, zato so za računalniško obdelavo prekomplicirani. Glavna področja uporabe nevronskih mrež so na področju reševanja problemov z veliko vhodnimi podatki. Ta področja so naslednja:

- Ekonomski informacijski sistemi. Metode nevronskih mrež se uporabljajo v makroekonomiji in financah. Raziskave na tem področju se fokusirajo prevsem na napovedovanje določenih ekonomskih dogodkov. Velik poudarek se daje na napovedovanje menjalnih tečajev, prihodkov delnic, napoved cen in drugih makroekonomskih parametrov. Na področju trženja se izdelujejo modeli odzivov kupcev na določeno ponudbo. Integracija nevronskih mrež in mehke logike se uporablja pri napovedovanju stečajev. Informacijski sistemi uporabljajo nevronske mreže za prepoznavanje teksta in rokopisa, za filtriranje informacijskega šuma in pri preverjanju podpisov. Nevronske mreže lahko napovedujejo tudi potrebe potrošnikov po energiji.

- Tehnologija in proizvodnja. Med najbolj pogosto uporabljene aplikacije v proizvodnji spadajo sistemi za slikovno prepoznavanje. Poleg tega pa se nevronske mreže uporabljajo v prognostičnih metodah, kot so napovedovanje napak (npr. v motorjih letal) in na področju vodenja sistemov (kvaliteta hrane, okusi in arome…).

- Medicina. Aplikacije sistema učenja, ki temeljijo na nevronskih mrežah, so osredotočene predvsem na dva problema: prepoznavanje slik in analiza (rentgenske slike in CT) ter na napovedovanje modelov (onkologija).

- Meteorologija. Meteorološke aplikacije so zelo pogoste, saj lahko nevronske mreže pomagajo napovedovati vreme.

Umetne nevronske mreže imajo nekaj dobrih lastnosti. Izvedejo lahko zgodnje preoblikovanje glede na vhodne podatke, kar jih naredi zelo univerzalne. Nevronskega računalnika, ki temelji na nevronski mreži ni potrebno programirati, saj lahko vso njegovo zahtevano obnašanje dosežemo z ustreznim učenjem na osnovi primerov. Nevronske mreže so zahvaljujoč velikemu številu nevronov in povezav ter zahvaljujoč dejstvu, da se informacije lahko prenašajo po celotni mreži, zelo robustne. Napake na nevronih vodijo le v upočasnevanje delovanje mreže. Nevroni imajo sposobnost regeneracije in abstrakcije (enak odziv na določeno vrsto podatkov, ne samo na določen element niza podatkov).

Glavna področja uporabe so:

- napovedovanje,

- razpoznavanje,

- združevanje,

- filtriranje,

- optimizacija.

Napovedovanje predvideva neko izhodno vrednost glede na nekatere vrednosti, ki so se zgodile v preteklosti. Napovedovanje skuša najti najbolj verjetno obnašanje argumenta v znani seriji, katerega vrednost je odvisna od nekaterih neodvisnih parametrov sistema (katerakoli fizikalna veličina, vključno s časom). Napoved je posebna oblika ekstrapolacije, to je način izpeljave ali ugotovitev, ki izhaja iz obnašanja funkcije znotraj znanega območja glede na obnašanje zunaj tega območja.

Razpoznavanje je odločitev, ki temelji na vhodnem vektorju. Sistem se odloča, kateri kategoriji spada objekt, opisan z omenjenim vektorjem. Razpoznavanje včasih imenujemo tudi prepoznavanje ali uvrstitev.

Združevanje je podobna operacija kot razvrstitev. Umetne nevronske mreže se naučijo na pravilnih podatkih, da lahko potem razvrščajo nepravilne podatke.

S filtriranje lahko naredimo vhodni signal gladek. Filtriranje temelji pretvorbi vhodnega signala v polnegi in brezšumnegi izhodnegi signal. Vhodni signal dobimo iz vhodnih senzorjev, katerih tehnična implementacija in funkcija je odvisna od njihove naloge. Senzorji so lahko optični (za obdelavo slikovnih podatkov), ultrazvočni (sonar) in drugi.

Optimizacija je proces iskanja optimalne vrednosti določene veličine. Kot primer lahko navedemo iskanje najkrajše poti.

7.9 Vprašanja za ponavljanje

1. Poskusi definirati uporabo mehke logike v praktičnih aplikacijah!

2. Opiši delovanje sistema na osnovi mehke logike!

3. Najdi praktični primer sistema, kjer deluje sistem na osnovi mehke logike v kombinaciji s klasičnim sistemom vodenja s PLC!

4. Opiši postopek načrtovanja sistema na osnovi mehke logike od definicije do rezultatov!

8 Digitalni sistemi

8.1 Uvod

Uporabo sistemov za digitalno obdelavo podatkov je omogočil močan razvoj računalniške tehnologije, posebej uporaba mikroprocesorjev, mikrokrmilnikov, osebnih računalnikov in drugih programirljivih sistemov, kjer moramo izpostaviti programirljive logične krmilnike (PLC). Digitalni sistemi so skoraj popolnoma izpodrinili njihovo analogno konkurenco, ki je bila realizirana z vezji s pasivnimi in aktivnimi komponentami (npr. operacijskimi ojačevalniki).

Z digitalnimi sistemi lahko realiziramo ekvivalente vseh analognih sistemov (npr. regulatorji, filtri, modeli). Poleg tega imajo digitalni sistemi določene lastnosti, ki jih z analognimi sklopi ni mogoče realizirati: sistemi s končnim impulznim odzivom (FIR), ki v analognem svetu nimajo ekvivalenta. Obstajajo tudi druge funkcije, ki jih z analognimi sklopi ni možno realizirati, ker bi bilo to prekomplicirano, kot npr. nelinearni filtri, statstične operacije, identifikacija in optimizacija.

Digitalni sistemi se uporabljajo na številnih področjih za najrazličnejše funkcije. Vendar je njihova struktura in način delovanje vedno podobna. Razlika je le v načinih načrtovanja in strukturnih in parametričnih zahtevah. Na primer, zahteve pri načrtovanju regulatorja so stabilnost in performanse, na drugi strani pa so zahteve za digitalni model maksimalna podobnost delovanja glede na original.

8.2 Digitalni filtri

Naloga digitalnega filtra je spremeniti frekvenčno vsebino vhodnega signala na vnaprej določen način, npr. za nizkopasovni filter velja, da prepušča le signale nizkih frekvenc do določene meje, vse višje frekvence pa filter duši. Prav tako lahko realiziramo visoko prepustni filter ali pasovno prepustni filter, pri tem pa uporabimo enako strukturo, spremenijo se le parametri. V nekaterih primerih zahteve za digitalne filtre niso vezane na izvajanje frekvenčnega filtriranja, ampak po oblikovanju časovnega obnašanja obdelane veličine, npr. izločevanje šuma ali kratkuh motilnih signalov. Na področju digitalne obdelave slik je uporabljen dvodimenzionalni filter. Tak filter več funkcij: izločanje šuma, manipulacija kontrasta, ostrenje robov… Digitalni filtri se načrtujejo z DFT in spektralno analizo kot osnovo za numerično manipulacijo nad signali. Filter mora izračunati konvolucijo med dvema vzorcema v realnem času (FIR filtri). Digitalni filtri opravljajo enako funkcijo, kot pasivni in aktivni analogni filtri. Lahko jih načrtujemo po direktni poti (FIR) ali jih izpeljemo iz analognega prototipa (IIR).

Filtre ločimo glede na impulzni odziv:

- Filtri s končnim impulznim odzivom – FIR

- Filtri z neskončnim impulznim odzivom – IIR

Lahko pa jih ločimo glede na strukturo ali shemo:

- Nerekurzivni filtri NRDF (nimajo povratne vezave)

- Rekurzivni filtri (imajo povratno vezavo) – večinoma IIR filtri

LTI

Linearni časovno nespremenljivi sistemi

Če je x(t) vhodni signal in y(t) izhodni signal, potem je izhodni signal podan s transformacijo vhodnega signala z izrazom: y(t) = T{x(t)}.

Časovna nespremenljivost je pojem, ki pomeni, da se sistem na nek vhodni signal x(t) vedno odzove z izhodnim signalom y(t). Če vhodni signal časovno premaknemo x(t−t_0), potem se bo časovno nespremenljiv sistem odzval z enako časovno premaknjenim signalom y(t−t_0).

Linearni sistem je sistem, kjer za vhodni signal x(t), pomnožen s faktorjem k velja, da se sistem odzove z izhodnim signalom y(t), pomnoženim z istim faktorjem k. Vsota vhodnih signalov pa povzroči odziv sistema in izhodni signal .

Takšno obnašanje je zelo pomembno, saj poenostavi nekatere matematične operacije in razumevanje sistema. „Digitalna varianta“ LTI sistema se imenuje DLTI (diskretni LTI). V digitalnih sistemin v nasprotju z analognimi operiramo s številčnimi sekvencami. Vhodni signal se podan kot sekvenca {x (n T), n pripada Z – diskretnemu prostoru stanj}, izhodni signal (odziv) pa podaja sekvenca {y (n T), n pripada Z}. Upoštevamo, da x (n T) pomeni, da to število pomeni velikost signala v trenutku n T, kjer je T perioda vzorčenja. Če predpostavimo, da je vhodni signal časovno neodvisna številčna sekvenca, lahko vzorce zapišemo samo z indeksom n, x(n). V veliko primerih pa je časovna komponenta pomembna (npr. filtriranje signala), zato pustimo obliko zapisa x (n T).

Diskretni časovno neodvisni sistemi pretvorijo vhodni signal (sekvenco) {x (n t)} v izhodno sekvenco (signal) {y (n t)}, velja {y (n t)} = T{x (n T)}. Impulzni odziv digitalnega sistema je njegov odziv na en vhodni vzorec v času t = 0. Vhodni signal (sekvenca) je {x (n T) = 1 za n = 0, x (n T) = 0 za n ≠ 0}. Pri določanju impulznega odziva digitalnega sistema predpostavimo, da je pred pojavom vhodnega impulza sistem relaksiran.

Za linearne časovno neodvisne sisteme velja pravilo superpozicije: če vhodni signal razdelimo na ustrezne dele, lahko odzive na te dele sestavimo v izhodni signal. Vhodni signal {x (n T)} razdelimo s sistemom vzorčenja in dobimo vzorce kot pulze x velikosti (i T) razporejene po periodi vzorčenja T. Odziv na te impulze je x (i T){h (n T − i T)}. Celotna izhodna sekvenca kot odziv na vhodni signal {x (n T)} je vsota vseh odzivov za vse i.

8.3 FIR

To so filtri s končnim odzivom. Ne vsebujejo povratne vezave in spadajo v skupino nerekurzivnih filtrov. Prenosna karakteristika (samo za pozitivne n) filtriranja je:

diferencialna enačba pa je:

FIR filter je vedno stabilen

Največkrat uporabljena struktura je kot transverzalni filter. To je v bistvu zakasnilna linija s stikali na miltiplikatorje. Filter izračunava uteženo drseče povprečje od M+1 zadnje vrednosti. Koeficienti so vrednosti impulznih odzivov – bn = h(n).

Fig. 8.1: Shema transverzalnega FIR filtra

Filter povzroča zakasnitev signala za korakov in se stabilizira po M+1 korakih.

8.4 IIR

Da dobimo rekurzivni filter potrebujemo v sistemu vsaj eno povratno vezavo. Prenos se izvede s kvocientom polinomov. Ničle določajo nerekurzivni del , poli pa predstavljajo rekurzivni del. Red filtra določa najvišja stopnja polinoma. Red IIR filtrov je veliko nižji, kot pri FIR filtrih, zato je odziv hitrejši. Primer poenostavljenega IIR filtra prikazuje spodnja slika.

Fig. 8.2: Enostaven IIR filter

Filtre delimo glede na njihov namen:

1. Frekvenčno selektivni digitalni filtri

To so nizko prepustni (Lowpass – LP), visoko prepustni (highpass – HP), pasovno prepustni (pass filter – PP) in pasovno zaporni filter (Band-stop filter – PZ).

Realizirani so kot FIR ali IIR filtri linearno fazo in kot FIR filtri.

2. Diskretni integrator

Integral se izračuna z numeričnim postopkom, kot je navedeno v naslednjem primeru:

y(n)= y(n-1) + x(n)

3. Diskretni diferenciator

Diferenciranje vhodnega signala je pomemben postopek pri zaznavanju pospeševanja ali prepoznavanju robov.

4. Drseče povprečje

Gre za postopek izračuna povprečja iz vzorca in M preteklih vzorcev. Lahko je uteženo s posameznimi koeficienti

ali z eksponentnim pozabljanjemkot rekurzivni filter z utežmi koeficientov ci, kjer je c realno število.

8.5 Področja uporabe

Vsako področje, kjer se uporabljajo digitalni sistemi, ima svojo lastno zgodovino, terminologijo, zapis, razvoj terorije in metode načrtovanja, kot tudi skupine ekspertov tako v razvoju kot v praksi. Komunikacija med posameznimi področji je le občasna, izjema je morda le področje regulacij, kjer pride v poštev masovna uporaba različnih filtrov, sistemov napovedovanja ali mehke logike. Nemogoče ali celo neuporabno je opisati natančno vsa področja uporabe digitalnih sistemov in aplikacij. Omejili se bomo na področje regulacij in se ostalih področij le dotaknili.

Tudi na področju teorije regulacij se ne bomo spuščali v podrobnosti, saj je ta podrobno in obsežno opisana v specializiranih publikacijah. Naša razlaga bo temeljila na opisu fizikalnih principov, inženirskih pristopih in intuiciji. Tak pristop ima smisel, saj so nekatere teoretične metode težko razumljive in uporabne v praksi.

8.6 Numerično vodenje

Opisali bomo postopek povratnozančnega vodenja (glej sliko 5.2d). Regulator (R) ocenjuje trenutno izhodno vrednost regulirane veličine (y), merjeno na vodeni napravi (S) in jo primerja z želeno vhodno vrednostjo (w). Dobljena razlika predstavlja signal odstopanja (e) (razlika je enaka e = w – y), ki jo regulator pretvori v regulirno veličino (u). Regulator vzbuja napravo z regulirno veličino z namenom eliminirati ali vsaj zmanjšati odstopanje. Ragulirana veličina (y) je lahko katerakoli fizikalna veličina (temperatura, položaj, hitrost, nivo, tlak, vlažnost…).

Cilj povratnozančne regulacije je voditi ali s časom slediti želeni vrednosti z minimalnimi izgubami ali tveganji. Vodenje se lahko obravnava kot zvezni proces kompenzacije odstopanja. Odstopanje pa lahko nastopi zaradi želene spremembe vhodne vrednosti (npr. sprememba želene temperature sobe, ki jo nastavimo glede na čas ali glede na prisotnost oseb).

8.7 Motnje in učinkovitost vodenja

Glavni vir napak so motnje, ki delujejo na vodeno napravo. Pogosto se pojavljajo kot naključne spremenljivke, kot je npr. nenadna sprememba vremena, sprememba osončenosti sobe, odpiranje oken, vklapljanje električnih naprav, prihod več oseb v prostor, šum pri merjenju temperature ali naključne motnje v bližini. Nekateri vplivi se lahko obravnavajo kot naključni, saj jih je skoraj nemogoče napovedati.

Obstaja več meril, kako vrednostiti učinkovitost vodenja. Poleg odstopanja v stabilnem stanju je pomemben podatek tudi časovno obnašanje vodene veličine. Vsaka sprememba signala odstopanja vodi v odziv izhoda vobliki prehodnega pojava, ki teži k stabilnem stanju (teoretično) za neskončno dolgo. Učinkovitost vodenja se ocenjuje tudi z odzivom na prehodne pojave. V nekaterih aplikacijah je zaželjen čim krajši čas umiritve, ki pa za seboj prinese tudi večje prekoračitve. Na drugi strani pa je v sistemih, ki zahtevajo čim manjše prekoračitve, čas umitirve daljši.

8.8 Analiza stabilnost in prehodni pojav sistema

Pomembna lastnost zaprto-zančnega sistema je stabilnost. Preprosto povedano, stabilni regulirani izhod zaprto-zančnega sistema je enak želeni vrednosti ali v bližini le te z podano dopustno mejo nastavitve – toleranco, kjer regulirana veličini lahko naključno niha znotraj dopustnih mej ali zavzame konstantno vrednost – tolerančna statična napaka. Odziv nestabilnih sistemov je nestanoviten, pri čemer izhodne veličine naraščajo v neskončnost ali do energijskih omejitev sistema. Odziv sistema je lahko eksponentne ali oscilirajoče narave.

Prehodni pojav zaprto-zančnega sistema je pokazatelj dinamike reguliranega objekta. Ta se kaže v obliki zakasnitve, oscilacije, prenihaja - podnihaja itd. in je lastnost sistemov, ki so sposobni akumulirati energijo, maso (toplota, voda, električno napajanje) ali so sposobni pretvorbe ene oblike energije v drugo (elektromotorji, parni stroji, motorji na fosilna goriva ).

V dinamiko sistema prav tako vključujemo transportno zakasnite, ki se na primer kaže v obliki transporta mase (premog na transportnem traku, voda ali zrak v cevi) ali prav tako v komunikacijskih sistemih (širjenje zvoka, slaba komunikacijska povezava, procesiranje ali zakasnitev zaradi tipanja).

8.9 Statični sistemi

Sistemi, ki nimajo nobene vidne ali opazne dinamike imenujemo statični ali nedinamični sistemi. Za primer vzemimo linearni ojačevalnik ali pretvornik. Pri obeh sistemih ni moč zaznati dinamike ali spremembo izhodne vrednosti z določenim prehodnim pojavom. V nekaterih primerih je prehodni pojav lahko zanemarljiv (vžig žarnice, preklop kontaktorja ali termostata, pomik kazalca na merilniku, zagon/ustavitev elektor ali pnevmatskega motorja).

Velikokrat je v zaprto-zančnih sistemih prehodnih pojav posameznih elementov opazen, ampak ni pomemben in ga zanemarimo. Za primer vzemimo proces regulacije temperature zalogovnika, kjer dinamika odpiranja in zapiranja mešalnega ventila ali nastavitev želene vrednosti ni pomembna in se zanemari, saj je dinamika ogrevanja zalogovnika mnogo počasnejša od dinamike ventila. Prav tako se dinamika sistema zanemari pri krmilnih sistemih, kjer je zgolj pomembna končna lega vodenega sistema (končna stikala), pri tem se ne upošteva hitrost spremembe regulirane veličine. Kot za primer vzemimo lift; cilj vodenja je dvig ali spust potnikov na določeno višino, kjer se ne regulira hitrost dvigovanja, pospeševanje ali pojemek lifta, čeprav jo potnik čuti v procesu dviga ali spusta.

8.10 Opis sistema

Vzemimo sistem ovalnega rezervoarja vode brez iztoka razen z dotokom na vrhu. Rezervoar je polnjen z vodo, ki ima konstanten pretok in je neodvisen od časa in trenutnega nivoja vode v posodi. Dotok vode ja lahko samo nastavljiv po principu; popolnoma odprt ali zaprt ventil in ne more biti zvezno nastavljiv.

Po odprtju ventila (stopnična sprememba pretoka od nič do konstantne vrednosti), nivo vode v rezervoarju narašča s konstantno hitrostjo. Trenutni nivo vode je odvisen od pretoka vode in površine dna rezervoarja. Polnjenje rezervoarja traja vse dokler nivo ne doseže vrha posode, kjer višek polnjenja izteče preko odtoka na vrhu rezervoarja (vsa voda odteče vstran). Rezervoar doseže najvišji nivo, čeprav je ventil še vedno odprt. Takšen sistem vsebuje nelinearnost, ki jo v primeru polnjena rezervoarja imenujemo omejevalnik ali saturacija.

8.11 Karakteristika sistema

Za primer vzemimo enak sistem, kot v poglavju 87. V primeru, če prekinemo dotok vode (zapremo ventil), nivo vode v rezervoarju preneha naraščati in se ustali pri trenutni vrednosti. Po odprtju ventila se naraščanje nivoja nadaljuje enako, kot prej.

Nivo vode je proporcionalen dotočeni prostornini, kar pomeni, da je dotočena prostornina integral pretoka po času polnjenja. Takšen sistem vsebuje integralsko karakteristiko in ga imenujemo sistem prve vrste z omejevalnikom - nestacionarni sistem. Za sisteme z integralsko karakteristiko in omejevalnikom je značilno, da izhod sistema linearno narašča gleda na konstanten vhod, dokler izhodna veličina ne doseže maksimalne vrednosti (maksimalni nivo vode - poln rezervoar, ostala voda odteče vstran). Za stacionarne sisteme velja, da kljub konstantni vhodni veličini izhod sistema zavzame konstantno vrednost in se ne spreminja.

Slika. 8.3: Hidravlični system z integralnim obnašanjem.

ZAPISEK

Izraz statični istem se v teoriji regulacij uporablja na dva načina. V prvem primeru se nanaša na sistem brez lastne dinamike in izhod takoj sledi vhodu (brez zakasnitev). V srugem primeru se izraz nanaša na dinamične sisteme, kjer stopnična sprememba vhodne spremenljivke povzroči spremembo na izhodu, ki se stabilizira okrog konstantne vrednosti.

8.12 Modifikacija sistema

Slabost predstavljenega primer je, da ne moremo nižati dosežen nivo vode v rezervoarju. V tem primeru ne moremo nastaviti negativnega pretoka, kot kontrolno veličino, kar pomeni, da ni možno regulirati nivo vode v nasprotni smeri (zniževanje nivoja).

Slika. 8.4: Hidravlični system integrecijskega tipa

Za primer vzemimo podoben sistem z rezervoarjem in črpalko za črpanje vode, ki je nameščena na dnu rezervoarja. Enako, kot prej predpostavimo, da ima dotok, kot tudi odtok s pomočjo črpalke konstanten pretok in lahko zavzame vrednost med nič in določeno konstanto vrednostjo. Dinamiko črpalke zanemarimo. V času praznjenja, podobo, kot pri polnjenju s konstantnim pretokom, nivo vode pada s konstanto hitrostjo, kar pomeni, da ima sistem integralski značaj, le da ima kontrolna veličina negativni predznak. V primeru, da sta dotočni in odtočna pretoka enaka, se sistem obnaša linearno vse od dna do vrha rezervoarja (omejevalnik - saturacija).

8.13 Električni sistemi

Nestacionarne sisteme lahko obravnavamo na različnih področjih prav tako v elektrotehniki. Na sliki je prikazan električni sistema z integralsko karakteristiko pri polnjenju kondenzatorja s konstantnim tokom. V času polnjenja električni naboj na kondenzatorju konstanto narašča. Napajalni tok ni odvisen od kapacitete kondenzatorja in časa polnjenja. Napetost na kondenzatorju u_2 linearno narašča glede na polnilni tok. Proces praznjenja kondenzatorja je enak, kot proces polnjenja. Če je absolutna vrednost polnilnega in praznilnega toka enaka, potem je sistem linearen, v nasprotnem primeru je sistem nesimetričen t.i. nelinearen. Teoretično je lahko napetost na kondenzatorju neskončna, v praksi lahko doseže le vrednost napajalnega vira.

Opomba: Iz teorije električnih tokokrogov je električni tokokrog linearen. Nelinearnost tokokroga je izražena v omejenem polnilnem toku, ki lahko zavzame samo vrednost nič ali poljubna konstantna vrednost. Analogija predstavljenemu primeru je tudi hidravlični sistem s rezervoarjem, kjer se nelinearnost prav tako kaže v omejenem vhodnem in izhodnem pretoku.

Slika. 8.5: Primer astatičnega sistema

8.14 Termični in mehanski sistemi

Obstajajo termični sistemi, ki se lahko obnašajo skorajda nestacionarno. Za takšne sisteme velja, da imajo minimalne termične izgube in so dobro termalno izolirani (vakumske termovke, polistirenski shranjevalniki, toplotne eksperimentalne komore itd.). Prav tako je na takšen način možno karakterizirati grelna telesa, ki so neodvisna od temperaturne razlike (grelec, grelec brez termalne zaščite, žarnica).

Pri mehanskih sistemih obstaja veliko primerov, ki se obnašajo nestacionarno. Vsi sistemi, ki imajo na vhodu translacijsko ali kotno hitrost in na izhodu pozicijo ali kot so po naravi nestacionarni sistemi (gibljivi deli manipulatorja, pozicija avtomobila, letala, vlaka itd.). Nestacionarnost se prav tako kaže pri sistemih, ki imajo za vhodno vrednost pospešek in izhodno vrednost hitrost. Pri sistemih, kjer je vhodna vrednost translacijski ali kotni pospešek in izhod pozicija ali kot, se imenujejo sistemi druge vrste (dvojno integralsko delovanje –dvojni integrator). Prosti pad (konstantni gravitacijski pospešek ) ni samo fenomen mehanskih sistemov, ampak je v praksi velikokrat uporabljen, kot želena lastnost sistema, da se zagotavlja konstanten pospešek (vzel letala, izstrelitev rakete itd.).

ZAPISEK

Za boljše razumevanje, smo do sedaj obravnavali sisteme z stopničnimi vhodnimi vrednostmi, odprtje/zaprtje ventila, vklop/izklop črpalke, konstanten napajalni tok itd.. Stopnične referenčen vrednosti so zelo pogosto uporabljeni signali v praktičnih aplikacijah; za vodenje sistemov, kot želene vrednosti, identifikacijske metode za ocenitev parametrov ter strukture sistemov. Če želimo voditi sistem s poljubnimi zveznimi vhodnimi signali, ostajajo fizikalne lastnosti in dinamika sistema nespremenjene, le da je odziv sistema bolj kompleksen in manj razumljiv. Za primer integral pretoka po času je še vedno nivo vode v rezervoarju, integral hitrosti po času je pot itd.

8.15 Polnjenje kondenzatorja

Za primer vzemimo spremenjen tokokrog na sliki. Kondenzator zaporedno s uporom je napajan s konstantno napetostjo. Odziv sistema na dva različna časovna pulza (daljši in krajši) z amplitudo u_1m je prikazan na sliki. Izhodna vrednost tokokroga je napetost na kondenzatorju uc.

Zaradi pritisnjene napetosti u1m se kondenzator začne polniti po eksponentni funkciji:

Na začetku polnjena pri času t = 0, je napetost na kondenzatorju uc = 0 in tok je maksimalen (omejen z vrednostjo upora R). Ko se kondenzator polni, napetost narašča in razlika napetosti (u_1m – uc) znižuje polnilni tok i, kar za posledico znižuje hitrost polnjena kondenzatorja (hitrost - sprememba uc se znižuje, vrednost še vedno narašča, ampak počasneje). V stacionarnih razmerah je napajalna napetost enaka napetosti na kondenzatorju in polnilni tok je enak nič, kondenzator je napolnjen.

Slika. 8.6: Preprosto električno vezje

8.16 Capacitor discharging

Podoben proces polnjena kondenzatorja v RC tokokrogu je praznjenje kondenzatorja, v času ko je napajalna napetost izključena. Praznjenje kondenzatorja opisuje eksponentna funkcija:

Če na strani napajalne napetosti v fazi praznjenja pritisnemo kratek pulz, se prehodni pojav ne zaključi, le kondenzator se za kratek čas delno napolni. Nato se praznjenje nadaljuje pri zadnji trenutni doseženi napolnjeni napetosti.

Eksponentna lastnost polnjena/praznjenja RC tokokroga je opisana s časovno konstanto τ. Časovna konstanta je tangenta na eksponentno funkcijo, katere točka na funkciji ima vrednost koordinat na ordinati in abscisi pri času τ. Za RC vezje je časovna konstanta enaka produktu τ = RC. Opisan sistem imenujemo člen prvega reda. Tokokrog s tuljavo in kondenzatorjem RL se obnaša podobno, kot RC tokokrog, kjer namesto napetosti um1,uc obravnavamo pritisnjen tok im1 in tok tuljave iL ter padec napetosti na uporu R.

ZAPISEK

Predpostavimo, da je tokokrog napajan s konstantno napetostjo um1 in pri praznjenju je napetosti enaka nič. Kondenzator se prazni z negativnim tokom glede na polnilni tok. V mnogih primerih je napetost izključena in ni postavljena na nič, v tem primeru bi ostal kondenzator trajno napolnjen (zanemarimo parazitno upornost kondenzatorja).

Slika. 8.7: Odziv statičnega sistema prvega reda na stopnico in povezava s časovno omejitvijo

8.17 Povezava termičnih in električnih sistemov

Med termičnimi in električni sistemi obstajajo določene podobnosti, na primer, ogrevanje prostora s termičnimi izgubami, ogrevanje vode v kuhalniku. Razlika med sistemi je v tem, da je pri električnih sistemih praznjenje izvedeno z ničelnim napetostnim potencialom, kjer se kondenzator prazni preko šunt upora R_2 in delno preko upora R_1 nazaj na izvora. Praznjenje kondenzatorja poteka preko paralelne vezave uporov na ničelno napetost:

Sistem je simetričen in zato linearen. Na drugi strani so termični sistemi na splošno asimetrični in zato nelinearni. Prekinitev ogrevanja pomeni izključitev gretja, pri čemer pomeni, da se sistem ohlaja zaradi termičnih izgub. Boljša analogija električnih in termičnih sistemov prikazuje slika, kjer je primerjava prikazana z hkratnim polnjenjem in praznjenjem rezervoarja ali praznjenjem kondenzatorja z odklopom napajanja (praznjenje se izvaja le preko upora R_2). Ta primer opisuje mnogo boljšo primerjavo sistemov, čeprav ni povsem razumljivo kaj pomeni ničelna napetost ali temperatura. Bolj realistični primer je prikazan na naslednji sliki, kjer je pri termalnem sistemu vključena temperatura prostora, kar v električnem sistemu rezultira dodaten izvor u_2. Če je napetost u_2 nižja od napetosti na kondenzatorju, potem teče tok k izvoru u_2, kar je primerljivo termičnim izgubam. V nasprotnem primeru, teče tok iz izvora u_2 v kondenzator, kar je primerljivo z dovajanjem energije iz okolice, če je temperatura oklice višja, kot v rezervoarju.

8.18 Povezava med termičnim, hidravličnim in električnim sistemom

Predstavljeni termični modeli sistemov so zelo poenostavljeni napram realnim sistemom, npr. ogrevanje prostora. Realni sistemi imajo kompleksnejšo strukturo in so običajno višjega reda. Glede na izbran model; upor R1 predstavlja termično upornost grelnika, kjer upor R2 predstavlja termične izgube – nižja je upornost večje so izgube. Dobro izolirane zgradbe imajo po navadi višjo termično upornost. Kapacitivnost C predstavlja termično kapacitivnost ali preprostejše akumulirano termično energijo – toploto. Termična kapacitivnost je podana z volumnom prostora, karakteristiko zidov ter grelnim telesom.

Električni tokokrog z dvema napetostnima izvoroma je primerljiv s hidravličnim sistemom z dvema bazenoma in prav tako s predstavljenim termičnim sistemom; ogrevanje prostora (ne smemo pozabiti, kvadratni koren pretoka, ki vpliva na nivo tekočine v rezervoarju je primer hidravličnega sistema).

Slika. 8.8: Hidravlični sisteme

8.19 Energijski izvori (napetostni in tokovni) za različne fizikalne procese

V elektrotehniki so tokokrogi pogosto obravnavani z idealnimi napetostnimi ali tokovnimi viri. Pri termičnih in hidravličnih sistemih je idealni energijski vir manj pogosta predpostavka, zato je pomembno razumevanje strukture sistema tekom modeliranja.

Idealni napetostni vir vzdržuje konstanto napetost neglede na upornost bremena. Teoretično pomeni, da vir nima notranje ali lastne upornosti. Večino napetostnih napajalnikov v praksi, so zelo dobri približki idealnim napetostnim virom npr. (omrežni priključki, svinčeni akumulatorji) in nekateri malo slabši (majhni transformatorji, baterije ).

Slika. 8.9: Povezava hidravličnega sistema in napotostnega izvora

V hidravličnih sistemih je električna napetosti primerljiva tlaku ali razliki tlakov. Tako je analogija električnemu napetostnem izvoru enak tlačni izvor, kateri je neodvisen od priključenega tlačnega bremena. Idealni tlačni izvor je primerljiv z velikim bazenom, rezervoarjem, oceanom itd..

V termičnih sistemih je analogno izvoru električne napetosti primerljiva temperatura ali temperaturni gradient. Idealni temperaturni izvor je primerljiv z velikimi ogrevalnimi ali hladilnimi sistemi npr., veliki bazen vode s konstantno temperaturo, bojler, masivna stena, reguliran temperaturni sistem itd..

Idealni tokovni izvor je sposoben zagotavljati konstanten izvor toka, neglede na priključeno breme. Moč ga je predstaviti, kot visoko napetostni izvor z veliko serijsko upornostjo.

Slika. 8.10: Aproksimacija konstantnega tokovnega izvora

Tokovni izvor v hidravličnih sistemih je primerljiv s konstantnim masnim/volumenski pretokom, ki je neodvisen od porabe npr., vodni kanal, tlačni rezervoar.

V termičnih sistemih je tokovni izvor primerljiv toplotnemu toku, ki je prav tako neodvisen od temperature ogrevanega objekta npr., grelnik brez limiterja (zaščite). Sistemi, kot npr., žarnice, peči itd., potrebujejo dodatno hlajenje. V primeru brez hlajenja, lahko ti dosežejo zelo visoke temperature, katere lahko povzročijo tudi uničenje sistema.

Slika. 8.11: Hidravlični kondanzatorksi sistem z dranažo.

Večina obravnavanih sistemov (električni in hidravlični), razen nestacionarnih, so napajani z napetostnimi izvori. Prikažimo nekaj modifikacij sistemov, ki so napajani s tokovnim izvorom.

8.20 Oscilirajoči sistemi

Sistemi višjega reda lahko imajo nemonotonične prehodne pojave. Med njih spadajo tudi oscilirajoči odzivi. Glavni razlog oscilirajočih pojavov se skriva v vzajemni pretvorbi energije iz ene forme v drugo npr., vzmeteno nihalo – potencialna energija se pretvarja v kinetično in obratno, torzijsko nihalo – prožnostna energija se pretvarja v kinetično in obratno. Oscilirajoče lastnosti je moč opaziti pri mehanskih sistemih v povezavi z vztrajnostno, elastičnim elementom in dušilcem. Cilj regulacije je zagotoviti čim boljše dušenje sistema npr., blaženje voznikovega sedeža, gibanje dvigala itd., z namenom odprave ali kompenzacije oscilirajoče karakteristike ne reguliranega sistema. Električni tokokrogi z kombinacijo tuljave in kondenzatorja imajo oscilirajoče karakteristike, prav tako velike vodne površine v primeru dotika ali vetra valovijo - oscilirajo itd.. Stabilne in nestabilne oscilacije so vzrok povratnega vpliva izhoda na vhod in je lastnost kompleksnih sistemih.

Zaporedna vezava podsistemov v sistem je lahko kombinacija stacionarnih in/ali nestacionarnih sistemov.

Fig. 8.12: Electrični RLC krog

8.21 Nelinearnost

Nekateri sistemi lahko vsebujejo nelinearnosti. Nelinearnost v sistemu se lahko odraža kot, omejevalni (limiter – saturacija), asimetrična karakteristika ali posplošeno, kot funkcijska odvisnost nelinearne funkcije (kvadratna, korenska, polinomske funkcije itd.). Naslednji primeri nelinearnosti so značilnost mnogih sistemov; relejska karakteristika, histereza, mrtva cona, Kolumbovo trenje itd.. Karakteristika omejevalnika je skupna mnogim aktuatorjem, ki imajo omejen izhod. Za primer vzemimo regulacijo temperatur; regulator izračuna želeno temperaturo vode 250 0C, toda sistem zmore zagotavljati le do 100 0C. V tem primeru je izhod regulatorja v limitnem področju sistema. Sistem lahko prav tako vsebuje več nelinearnosti, vzemimo za primer asimetrija karakteristike skupaj s korensko odvisnostjo nivoja v primeru hidravličnega sistema. Prav tako lahko na nelinearnost pri hidravličnih sistemih vpliva tudi oblika sten rezervoarja.

Slika. 8.13: Tipična karakteristika

Slika . 8.14: Nelinearni hidravlični kapacitivni sistem

8.22 Identifikacija sistemov

Identifikacija sistema je izvedena na osnovi vzbujanja z znanimi vhodnimi signali ter analizo odzivov sistema. Na osnovi analize odzivov se določi struktura, red ter parametri sistema. Najpogosteje se za vzbujevalne signale uporablja stopnična funkcija in odziv sistema imenujemo stopnični odziv. V nekaterih primerih se za vzbujanje uporablja kratek pulz in odziv sistema imenujemo impulzni odziv. Oba signala imata pomembno teoretično osnovo.

V določenih primerih je nenadna sprememba vhoda nezaželena (nenadno odprtje ventila bi lahko povzročilo premočan curek ali prehitro pospeševanje vozila ali lifta itd.) ali mogoče v nekaterih primerih celo neizvedljiva (nenaden dvig temperature, sprememba vrtljajev motorja itd.). V teh primerih se namesto stopničnih ali pulznih signalov uporabljajo rampe in trapezni signali. Prav tako so pomembni tudi periodični in naključni vhodni signali (sinus, kosinus,naključni vlak pulzov).

Fig. 8.15: Tipišni vhodni signali sistema

8.23 Regulacije

Regulacija sistema je proces, ki na osnovi povratne zanke izhoda, želi doseči postavljeno referenčno vrednosti na vhodu sistema. Cilj regulacije je zagotoviti želeno vrednost vhoda na izhodu sistema (regulacija nivoja vode v rezervoarju, želena temperatura prostora itd.) v določen času obratovanja (oblika prehodnega pojava, hitrost odziva, pogrešek itd.). Želena vrednost na izhodu sistema mora biti ohranjena (regulirana), kljub motnjam sistema. Motnje sistema imajo nepredvidljivo karakteristiko in jih je praktično nemogoče napovedati ali natančno oceniti (sprememba zunanje temperature, odprtje okna, izolacije sten itd. )

Slika. 8.16: Regulacijski sistem

8.24 Povratna zanka

Princip povratne zanke je prikazan na prejšnji sliki. Vhod v sistem je želena vrednost (w) in izhod je trenutna vrednost (y). Razlika vrednosti (e = w – y) imenujemo napaka regulacije in je vhod v regulator R. Celoten regulacijski sistem na osnovi izračuna napake (e) in izhoda regulatorja (u) preko aktuatorja vpliva na objekt vodenja S. Vloga regulatorja je minimiziranje regulacijske napake (e) in približevanje izhodne vrednosti (y) k želeni (w).

V praksi se velikokrat za preproste sisteme uporabljajo nelinearni regulatorji, kot so: termostati, dvo-položajni tro-položajni členi. V industrijski praksi so v veliki meri zastopani linearni regulatorji tipa P,PI,PID in tudi druge kompleksnejše, linearne, moderne strukture.

9 PID regulator

Skupna lastnost P, PI in PID regulatorjev je linearnost. V primeru proporcionalnega regulatorja P, je izhod regulatorja proporcionalen napaki regulacije (e).

Izhod proporcionalno-integralnega regulatorja (PI) je vsota proporcionalnega (izhod P dela je proporcionalen napaki regulacije (e) ) in integralnega dela (izhod I dela je enak akumulirani vrednosti napake regulacije (e)). Integralski del regulatorja I je sposoben odpravljati statično napako regulacije in odpravo motenja, pri čemer to ni možno doseči samo s P regulatorjem. Integralski del I lahko povzroči nestabilnost sistema ali dolge in neželene prehodne odzive.

Izhodu proporcionalno-integralno-diferencialnega regulatorja PID je ob komponentah P in I dodan tudi diferencialni del D. Diferencialni del regulatorja vpliva na hitrejši odziv sistema in na nenadne spremembe želene vrednosti. Slabost diferencialnega dela je ojačenje visokofrekvenčnega merilnega šuma, kar lahko povzroči neželen in zašumljen izhod sistema.

9.1 Implementacija

Vse do pred kratkim so bili PID regulatorji implementirani z analognim vezjem na osnovi operacijskih ojačevalnikov. V današnjem času so vsi regulatorji implementirani v obliki algoritma, ki teče na mikro-krmilniku, PLC-ju ali osebnem računalniku.

Diskretni matematični zapis PID regulatorja:

Integralski del napake (I) je zamenjan s seštevalnikom - sumatorjem, kateri trenutni vrednosti akumulirane napake prišteje trenutni odtipek . Diferencial je aproksimiran z razliko sedanjega in prejšnjega odtipka Δek = ek – ek-1 .

Slika. 9.17: Principielna shema PID regulatorja

9.2 Različice PID

Čeprav, predstavljena implementacija regulatorja ni popolnoma ekvivalentna analogni obliki PID regulatorja, ga je moč uporabiti in nadomestiti v večini aplikacij z zveznim PID-jem. Takšna različico včasih imenujejo tudi PSD (proporcionalno-sumativno-diferencialna oblika). V tem besedilu jo bomo imenovali implementacijska različica PID regulatorja. Izhod takšnega regulatorja je spremenljivka uk (korekcija pozicije mehanskega sistema, odprtje ventila itd. ). Predstavljen algoritem se imenuje pozicijska ali absolutna enačba PID regulatorja. V teoriji vodenja obstaja mnogo načinov sintez ter struktur regulatorjev, v tem primeru uporabljamo samo tri lastnosti P,I,D z pripadajočimi ojačenji.

Implementirani program regulatorja izračunava izhod regulatorja v vsakem koraku izvršitve. Ime pozicijski ali absolutni algoritem se imenuje zato, ker izračunava absolutno vrednost izhoda u, napram algoritmov, kater izračunavajo samo spremembo izhoda regulatorja Δu.

Algoritmi, ki izračunavajo Δu se imenujejo hitrostni ali inkrementalni algoritmi. Oba algoritma sta ekvivalentna in dajeta enak rezultat po implementaciji.

9.3 Hitrostni ali inkrementalni algoritem PID r

Inkrementalni algoritem je možno predstaviti z modifikacijo absolutnega, glede na naslednji izraz:

Δuk = P·Δek + I·ek + D·Δ2ek

Izhod algoritma je spremenljivka Δuk. Integralski del je proporcionalen trenutni vrednosti ek, proporcionalen del je proporcionalen prvemu odvodu Δek = ek – ek-1 in diferencialni del je enak Δ2ek = Δek – Δek-1 = ek – 2ek-1 + ek-2. Inkrement Δuk predstavlja hitrost ali spremembo spremenljivke uk. Zato se algoritem imenuje hitrostna ali inkrementalna formula PID regulatorja. Absolutna vrednost uk se lahko izračuna z vsoto inkrementov, uk = uk-1 + Δuk. Črke P,I,D predstavljajo ojačenja.

Inkrementalni algoritme je lahko poenostavljeno predstavljen z zapisom:

Δuk = q_0·ek + q_1·ek-1 + q_2·ek-2

Fig. 9.18: Principielna shema PID algoritma za regulacijo hitrosti

9.4 Povezava z FIR sistemom

Izhod regulatorja je predstavljen z linearno kombinacijo treh spremenljivk – trenutna napaka ek, prejšnja napaka ek-1 in predprejšnja napaka ek-2. Inkrement Δuk je linearna kombinacija treh vrednostih, ki so časovno zakasnjene. Takšna predstavitev regulatorja je primer FIR sistema. Algoritem vsebuje tri množenja in dva seštevanj, kjer so koeficienti q_0, q_1, q_2 preračunani za dan PID regulator.

Fig. 9.19: Inkrementalni PID regulator kot FIR sistem

9.5 PI, PII različice

V nekaterih primerih je uporabljen dvojni PI regulator v seriji (izhod prvega regulatorja je povezan z vhod drugega), ki rezultira lastnost dvojnega integratorja. Regulator z dvojnim integratorjem imenujemo PII ali PI2 regulator.

Kot je obravnavano prej, dejanski algoritem PID regulatorja ni zahteven, toda v realnih aplikacijah se uporabljajo kompleksnejši algoritmi z dodatnimi zaščitami. Mnogi PLC-ji ponujajo navodila in funkcijsko specifikacijo za dan PID regulator.

Glavni cilj nastavitve regulatorja je določitev koeficientov ojačenja P,I,D, da dosežemo čim ugodnejši odziv sistema (stabilnost, hiter odziv, minimalna poraba energije, majhen prenihaj, pogrešek itd.).

Sinteza regulatorja je določena na osnovi dinamičnih lastnosti sistema ter z predpisanimi kriteriji vodenja. Večinoma je načrtovanje regulatorja kompleksna naloga in zahteva veliko omejitev ter kompromisov med posameznimi kriteriji. Glede na omejen pregled regulacijskih sistemov v tem besedili, bomo podali le nekaj primerov.

9.6 P različica

Princip P regulatorja je zelo preprost: večji je pogrešek (e) večji je izhod regulatorja (u) in posledično izhod sistema (y). Prehodni odziv sistema (odziv na želeno vrednost) z regulatorjem P je prikazan na spodnji sliki.

Kot je razvidno iz slike, izhod sistema (y) ne doseže želene vrednosti (w) (sistem vsebuje odstopanje ali napako regulacije - statični pogrešek). Z višanjem ojačenja znižujemo statični pogrešek, toda na drugi strani povzročimo dodatne oscilacije, zvišamo prenihaj odziva in posledično lahko celo povzročimo nestabilnost sistema.

Fig. 9.20: Časovni odziv sistema s P regulatorjem in različnimi ojačanji.

9.7 PI različica

Statično odstopanje sistema je možno odpraviti z integralnim delovanjem regulatorja PI. Prehodni odziv sistema z PI regulatorjem je prikazan na spodnji sliki, skupaj z izhodom regulatorja u.

Odziv reguliranega sistema se razlikuje glede na nastavljene parametre regulatorja ter lastnosti vodenega objekta (struktura, red objekta). Predvsem objekti, katerih parametri se lahko zelo spreminjajo je potrebno še natančneje obravnavati. Način rešitve takšnega problema je moč doseči z uporabo adaptivne regulacijske strukture, ki se je sposobna prilagajati spremembi objekta vodenja (samo nastavitev koeficientov), z namenom zagotovite čim višje učinkovitosti zaprto-zančnega sistema. Druga možnost je uporaba robustne teorije vodenje, ki zagotavlja stabilnost sistema za določeno množico različnih objektov.

Slika. 9.21: Časovni odziv za tri različne proge

Slika. 9.22: Časovni odziv PID regulatorja

Slika. 9.23: Tansient response for 3 different plants symetric

Slika. 9.24: Tansient response for 3 different plants symetric

9.8 Implementacija digitalnih regulatorjev

Implementacija digitalnega regulatorja zahteva analogni izhod. Takšna konfiguracija sistema je bistveno kompleksnejša, kot sistem z binearnim- dvostopenjskim izhodom (ON/OFF). Prav tako je veliko zahtevnejša priprava izhodne regulacijske veličine za pogon aktuatorjev (frekvenčni pretvornik, pogon za koračne motorje, mostično vezje, prilagoditveno vezja itd.). Zaradi teh težav je še vedno v uporabi veliko nelinearnih regulatorjev z relejskimi karakteristikami in njihovimi preklopnimi različicami. Parametri takšnih regulatorjev so preprosti in izhodi so največkrat vodeni preko relejev, selenoidov ali elektro-pnevmatskih pretvornikov. Kvaliteta vodenja sistemov z nelinearnimi regulatorji je bistveno slabša, kot z linearnimi, toda še kljub temu v mnogih primerih zadostuje kriterijem vodenja. Neželeni pojavi nelinearnega vodenja so oscilirajoči odzivi in pogosta sprememba izhoda aktuatorja, kar je možno v popolnosti odpraviti z zveznimi regulatorji.

Digitalni PID regulatorji za izhodno vrednost najpogosteje uporabljajo nezvezni binearni signal, ki je lahko voden z časom prevajanja periodičnega signala fiksne frekvence (pulzno širinska modulacija - PWM) ali z periodičnim signalom s konstantnim prevajalnim razmerjem in nastavljivo frekvenco (frekvenčna modulacija - FM). V primeru zaželenega analognega izhoda digitalnega regulatorja, se lahko PWM ali FM signalom dodat nizko frekvenčni filter ali uporabi moderni mikrokrmilniški sistem z D/A pretvornikom (digitalno-analogna pretvorba).

1)

Slika. 3.8: Primer 3.1

Nazaj

2)

Slika. 3.9: Primer 3.2

Nazaj

3)

1. L = P

2. L = P

3. L = P

4. L = P

5. L = P

6. L = P

7. L = P

8. L ≠ P

9. L = P

10. L ≠ P

Nazaj

4)

Nazaj

5)

Nazaj

6)

Nazaj

7)

Nazaj

8)

Nazaj